7.17. Разброс значений случайной величины

Знание степени разброса значений случайной величины в ряде случаев так же важно, как и знание её среднего значения. А бывает, и совершенно необходимо.

Например, известна пословица: «Река – в среднем по колено, а корова утонула».

Или другой случай. В больничной палате лежат пятеро тяжело больных. У четырёх температура – 40, лихорадка; а у одного – 20, комнатная, т.е. он умер. Какова будет средняя температура по палате?

Вычисляем среднее арифметическое

(40 + 40 + 40 + 40 + 20) / 5 = 180 / 5 = 36 град.

Средняя по палате температура – нормальная… Но значит ли это, что все здоровы?

Поэтому кроме среднего значения случайной величины важно знать что-то о разбросе её значений.

Причём желательно, чтобы это «что-то» было числом. Для возможности сравнения.

Задумаемся, что в рассмотренном примере можно вычислить такого, что характеризовало бы разброс значений?

Например, можно вычислить отклонения каждого значения от среднего арифметического, а затем найти среднее арифметическое этих отклонений.

Попробуем

( (40-36) + (40-36) + (40-36) + (40-36) + (20-36) ) / 5 = (4 + 4 + 4 + 4 + (–16) ) / 5 = 0.

Не подходит.

Знаки отклонений противоположны, поэтому отклонения взаимно уничтожаются.

Следовательно, надо что-то придумать, чтобы избавиться от знаков.

Первая мысль, которая приходит в голову – это вычислить вначале модули этих отклонений, а уже затем – их среднее арифметическое.

( |40-36| + |40-36| + |40-36| + |40-36| + |20-36| ) / 5 =

= (4 + 4 + 4 + 4 + 16) / 5 = 32 / 5 = 6,4 град.

Вот это уже то что надо. Модуль устраняет чувствительность к направленности отклонения, т.е. учитывается только величина этого отклонения без знака.

Эта способ вычисления весьма нагляден и исторически был предложен первым.

Однако впоследствии оказалось, что при его использовании в более сложных ситуациях возникают математические трудности.

Поэтому в настоящее время и в теории вероятности, и в статистике для большего удобства при вычислении отклонения используется не модуль, а возведение в квадрат, т.е. находится среднее арифметическое квадратов отклонений

( (40-36)² + (40-36)² + (40-36)² + (40-36)² + (20-36)² ) / 5 =

= (16 + 16 + 16 + 16 + 256) / 5 = 320 / 5 = 64 град².

Характеристика разброса значения здесь будет иметь размерность «градус в квадрате». (Почти что квадратный градус)

Чтобы вернуться к обычным, привычным градусам, извлекают корень

= 8 град.

Видим, что другой способ вычисления дал другое число. Но и в том, и в другом случае величина характеризует рассеяние или разброс относительно среднего значения.

А теперь давайте серьёзно получим выражение для рассеяния с использованием возведения в квадрат как способа устранения зависимости от знака отклонения.

Рассуждения будут такие же, как и при выводе выражения для среднего арифметического.

Рассмотрим дискретную случайную величину Х (большое) с N возможными значениями.

Пусть с ней проделано n одинаковых опытов.

При этом случайная величина Х значение приняла раз,

– раз

значение приняла раз,

–

и так далее …,

значение приняла раз

– .

Общее количество появления всех значений равно n, т.е.

Найдём среднее арифметическое случайной величины Х по n опытам.

Формулу для среднего арифметического уже получали

.

Теперь займёмся рассеянием.

В примере с больницей мы вычисляли среднее арифметическое квадратов отклонений от среднего. Запишем то же самое в общем виде.

Искомую величину для рассеяния будем обозначать как D_n(X). Рассеяние, по-латински, – дисперсия, т.е. слово начинается на букву «D».

Раскроем внешние скобки и учтём повторяемость значений, т.е., например, то, что складывается m₁ раз, и т.д.:

где - это частота появления значения в n опытах.

Мы вычислили среднее арифметическое квадратов отклонений. Говорят также, что получен средний квадрат отклонения от среднего арифметического.

Из полученного выражения видно, что рассеяние вычисляется как усреднённая сумма квадратов отклонений от среднего арифметического. В качестве множителей при каждом слагаемом суммы выступают частоты .