7.18. Дисперсия дискретной случайной величины

Итак, мы получили меру отклонения по результатам n опытов: среднее арифметическое квадратов отклонений

=

Но полученное значение может отличаться при повторениях серий из n опытов, а желательно иметь стабильное значение величины, описывающей разброс значений случайной величины.

Искомая стабильная величина получается при неограниченном увеличении числа опытов. Название у неё будет: дисперсия – рассеяние.

При возрастании количества опытов n частоты отдельных значений стремятся к их вероятностям, т.е. к значениям закона распределения.

,

среднее арифметическое – к математическому ожиданию

Соответственно, выражение для среднего арифметического квадратов отклонений изменится так

В этом выражении вместо частот стоят значения закона распределения, а возле обозначения дисперсии D буква n уже не пишется.

N (эн большое) – это, по-прежнему, количество возможных значений.

– значения закона распределения дискретной случайной величины (вероятности отдельных возможных значений x_i случайной величины).

В теории вероятности дисперсия дискретной случайной величины вычисляется без проведения каких-либо опытов, если известны значения закона распределения.

Таким образом, дисперсия дискретной случайной величины вычисляется как средний квадрат отклонения значений случайной величины от математического ожидания.

На обиходе столь же часто пользуются и другой мерой рассеяния, которую находят как квадратный корень из дисперсии:

.

Она носит название среднеквадратическое отклонение (или стандартное отклонение).

Если  возвести в квадрат, то получится – . Она же – дисперсия. Таким образом, получается, что для дисперсии можно использовать два обозначения: D(X) и , т.е.

D(X) = .

Если единицы измерения случайной величины X обозначить «е.и.», то и матожидание измеряется также в «е.и.».

Единица измерения дисперсии – квадрат размерности случайной величины, т.е. «е.и.²», а среднеквадратическое отклонение – снова в «е.и.». В этом его удобство.

7.19. Дисперсия непрерывной случайной величины

Для дискретной случайной величины дисперсия вычисляется по уже известной нам формуле:

.

Для непрерывной случайной величины выражение аналогично, но с использованием интеграла. Запишем его без вывода

.

Интеграл стоит вместо суммы.

Вместо вероятности отдельного значения P(x_i) стоит p(x)  dx , которое по смыслу является вероятностью попадания в бесконечно малый интервал dx.

У равномерно распределённой случайной величины, т.е. у которой плотность распределения отлична от нуля только на отрезке от a до b и имеет в его пределах постоянное значение, дисперсия такова

У нормально распределённой случайной величины или у нормального распределения дисперсия равна параметру  ²:

=

То, что у нормального распределения формула в явном виде содержит математическое ожидание и дисперсию – это очень удобно.

Почему удобно, сейчас узнаем.

7.20. Симметричные интервалы нормального распределения

Нормальное распределение, как это можно видеть из математической записи, зависит только от двух параметров: математического ожидания m и дисперсии ².

Существует даже специальное краткое обозначение плотности вероятности нормального распределения, отражающее этот факт:

Изобразим на рисунке плотность вероятности нормальной случайной величины Х с заданными математическим ожиданием m и дисперсией .

На горизонтальной оси отметим точку математического ожидания.

Если дана дисперсия  ², то значит можно извлечь из неё квадратный корень и получить среднеквадратическое отклонение  .

Отложим обе стороны от точки математического ожидания расстояния в одну «сигму».

Получим точку m– и точку m+.

Эта пара точек образует интервал, симметричный относительно плотности нормального распределения.

Вероятность того, что нормальная случайная величина Х примет значение в пределах интервала от m– до m+, равна, как точно вычислили математики, – 0,682.

P( m–  Х < m+) = 0,682

Что это за значение 0,682. Это площадь под центральной частью кривой.

А под всей кривой, помним, площадь – единица.

Теперь отложим от математического ожидания уже по две «сигме» в каждую сторону.

Получим точки m–2 и m+2.

Вероятность того, что нормальная случайная величина Х примет значение в пределах от m–2 до m+2 , равна – 0,955.

P( m–2  Х < m+2) = 0,955

И, наконец, отложим по три «сигмы».

Получим точки m–3 и m+3.

Вероятность того, что нормальная случайная величина Х примет значение в пределах от m–3 до m+3 , равна – 0,997.

P( m–3  Х < m+3) = 0,997

Каждая рассмотренная пара точек образует интервал, симметричный относительно плотности нормального распределения.

0,682; 0,955 и 0,997 – это вероятности попадания в симметричные интервалы, соответствующие однократному, двукратному и трёхкратному отклонениям.

Смыслы интервалов с точки зрения попадания в них случайной величины таковы:

в интервал по однократному отклонению – попадает большинство;

по двукратному – попадает подавляющее большинство;

по трёхкратному – попадают практически все.

Наиболее используемым и поэтому известным является интервал трёхкратного отклонения.

В него в среднем попадает 99,7 % всех значений, т.е. в среднем НЕ попадают только 3 из 1000.

В статистическом обиходе даже имеется так называемое «правило 3-х сигм»:

в интервал плюс минус 3 сигмы от математического ожидания в среднем попадает 99,7 % значений нормальной случайной величины.

Собственного названия рассмотренные интервалы не имеют. Однако в задачах управления качеством выпускаемой продукции эти интервалы именуются интервалами допуска.

Например, автоматическая линия выпускает изделия со средним значением какого-либо показателя (вес изделия, диаметр, концентрация) равным m.

У каждого отдельного изделия этот показатель может быть чуть больше или чуть меньше среднего, но не намного.

Изредка с конвейера сходят изделия с большими отклонениями показателя от среднего значения.

Они должны отбраковываться.

Для отбраковки устанавливается некоторый интервал [m–x/2; m+x/2].

Попадание значения показателя изделия в его пределы означает приёмку этого изделия. Выход же за пределы этого интервала означает недопуск изделия.

Поэтому такой интервал называется интервалом допуска.

Если в брак идёт слишком много изделий, то надо останавливать автоматическую линию и заниматься её настройкой. Надо сделать так, чтобы среднее значение выпускаемых изделий было ближе к m, т.е. к центру интервала допуска, а разброс показателя  был как можно меньше.