5. Динаміка ідеальної рідини

1. Рівняння руху ідеальної рідини, початкові і крайові умови, основні інтеграли

Динаміка – розділ гідромеханіки, в якому досліджуються зв’язки між зовнішніми силами і рухом рідини, який визивають ці сили.

Кожна реальна рідина в тій чи іншій мірі має властивість в’язкості. Однак рішення багатьох важливих задач для таких малов’язких рідин, як вода і повітря, можна одержати, вважаючи їх нев’язкими. При цьому ці рішення в багатьох випадках підтверджуються експериментальними даними. Математичні дослідження рівнянь руху нев’язкої рідини значно легше, ніж в’язкої.

Для рішення задач про рух нев’язкої рідини треба скласти рівняння руху, яке зв’язує між собою швидкості, тиски і масові сили, які діють в рідині. Щоб отримати ці рівняння, використаємо векторне рівняння руху рідини, яке виражене через напруження

(5.1)

В нев’язкій рідині діють лише нормальні напруження, зв’язок яких з тисками має вид

(5.2)

Підставляючи ці значення в попередній вираз, одержимо рівняння

(5.3)

яке використовуючи поняття градієнта скалярної функції Р, можна подати у вигляді

(5.4)

Рівняння (5.4)називається рівнянням руху нев’язкої рідини у формі Ейлера. Проектуючи (5.4) на вісі координат, одержимо систему трьох диференціальних рівнянь в скалярній формі

(5.5 )

В рівняннях Ейлера вважається відомими густина і вектор напруження масових сил F_x, F_y, F_z. Шуканими в цих рівняннях є три проекції швидкості v_x(x, y, z, t), v_y(x, y, z, t), v_z(x, y, z, t) і тиск Р(x, y, z, t), тобто чотири невідомих функції. Щоб привести у відповідність число рівнянь і число невідомих, до рівнянь (5.5 ) слід додати рівняння нерозривності рідини

(5.6)

Рішення замкненої системи рівнянь Ейлера і нерозривності треба підпорядкувати певним початковим і граничним умовам.

Розглянемо одне із рівнянь Ейлера (5.5), враховуючи, що прискорення складається із місцевого і конвективного прискорень

(5.7)

Додамо і віднімемо із лівої частини члени

(5.8)

після перегрупування одержимо

(5.9)

Часткова похідна по х від половини квадрата швидкості

(5.10)

Відомо

()

Використовуючи наведені вище залежності, придамо лівій частині рівняння вид

(IV.9)

Два останніх вирази в (IV.9) одержані методом кругової перестановки індексів. Помноживши обидві частини (IV.9) на орти вісей і склавши їх почленно, надамо рівняню векторну форму

(IV.10)

Рівняння (IV.10) називається рівнянням руху нев’язкої рідини у формі Громеко. Це рівняння по виду складніше рівняння Ейлера (IV.1), воно для дослідження простіше, оскільки в ньому в явній виділено член, який містить кутові швидкості. Початкові і граничні умови за умов інтергування рівняння (IV.10) залишаються тими ж, що і для рівнянь Ейлера.

Записані у формі Громеко рівняння дозволять віддалити вихровий рух від безвихрових (тобто потенціальних). Для потенціального руху _х = 0, _у = 0, _z = 0, і, отже, система рівнянь Ейлера одержує вид

( )

2. Інтеграли рівнянь руху рідини

В загальному випадку рівняння руху рідини не інтегруються. Для часткових випадків їх інтегрування можливе, якщо прийняти деякі допущення. Інтеграли рівнянь руху дозволяють встановити прямий зв’язок між швидкостями і тисками в потоці рідини.

Приймемо перше, характерне для любого інтегрування допущення, що масові сили мають потенціал, тобто

(IV.11)

Виходячи з цих умов, перепишемо рівняння Громеко, одночасно пергрупувавши його члени,

(IV.12)

Розглянемо перший випадок інтегрування рівнянь гідродинаміки. Припустимо, що досліджується безвихровий рух нев’язкої рідини, коли існує потенціал швидкості і кутові швидкості дорівнюють нулю, тобто

Підставимо ці залежності в (IV.12), врахувавши при цьому, що результат диференціювання не залежить від порядку диференціювання,

В результаті одержимо рівняння

(IV.13)

яке свідчить про те, що вираз в дужках не залежить від координат. Це дозволяє написати інтеграл рівняння (IV.13)

(IV.14)

який називається інтегралом Лагранжа; функція С(t) в його правій частині залежить тільки від часу.

Розглянемо частковий випадок інтеграла Лагранжа, коли рух рідини усталений. При цьому , тобто місцева зміна потенціалу (і швидкості) в функції від часу відсутня.

Функція С(t)  С – стала для всіх точок потоку,

(IV.15)

Рівняння (IV.15) носить назву інтеграла Ейлера. Другий випадок інтегрування. Припустимо, що вивчається усталений рух рідини, а інтегрування здійснюється вздовж лінії течії. При цих допущеннях , тобто місцеве прискорення відсутнє, і рівняння (IV.12) можна представити у вигляді

Помножимо скалярно обидві частини останнього рівняння на елемент лінії течії , який співпадає по напрямку з вектором швидкості v,

Розглянемо праву частину цього виразу. Як видно із рис. IV.2, вектори перпендикулярні. Із цього витікає, що

а отже

Розкриваючи скалярний добуток, одержимо

Виходячи з цього, встановлюємо, що вздовж лінії цей тричлен сталий, тобто

(IV.16)

Рівняння (IV.16) називається інтегралом Бернуллі.

Константа С в правій частині стала тільки вздовж лінії тока. При переході до других ліній течії значень сталої в інтегралі Бернуллі змінюється.

Порівнюючи інтеграли (IV.16) і (IV.15), бачимо, що по формі вони однакові. Однак між ними є суттєва різниця: константа С в інтегралі Ейлера стала для всього об’єму рідини, а в інтегралі Бернуллі – тільки вздовж лінії течії.

Розглянемо ще один випадок інтегрування рівнянь руху нев’язкої рідини, для якого приймається припущення, що рух рідини усталений, а лінії течії і вихорові лінії співпадають. Такий рух називається гвинтовим. При цьому , векторний добуток , і рівняння (IV.12), яка інтегрується застосованим при виводі інтеграла Бернуллі способом, приймає вигляд

(IV.17)

Ця рівність справедлива вздовж вихорової лінії і лінії течії. Вона називається інтегралом Громеко і застосовується в теорії крила.

Розглянемо найбільш важливий випадок, коли в рідині діють сили ваги, тобто , і запишемо для нього інтеграли рівнянь руху.

Одночасно помножимо обидві частини рівнянь на густину  і врахуємо, що . Тоді інтегралі рівнянь руху будуть мати наступний вигляд:

інтеграл Лагранжа

(IV.18)

інтеграл Ейлера

(IV.19)

де константа С від часу не залежить і стала для всіх точок об’єма рідини;

інтеграл Бернуллі

(IV.20)

часто називають також рівнянням Бернуллі, в якому константа С стала тільки вздовж даної лінії течії.

Всі складові, які входять в ці рівняння, мають розмірність тиску.

Фізичний зміст інтегралів рівнянь руху

–

–

–

Р –

– в інтегралі Лагранжа для неусталеного руху, характеризує зміну питомої енергії, яка визвана зміною швидкості в часі;

– значення сталої або функції в правій частині інтегралів рівнянь руху визначається за допомогою граничних умов.

Рівняння Бернуллі

(IV.20)

Геометричний зміст

– п’єзометрична висота; – геометрична висота; – швидкісна висота (приведений швидкісний напір); – повний, або гідродинамічний, напір.

Рівняння руху ідеальної рідини, початкові умови