6. Елементи гідравліки в’язкої нестисливої рідини

1. Енергетичний баланс одновимірних течій. Рівняння Бернуллі

Широке коло питань технічної механіки рідини може бути вирішене за допомогою специфічного підходу до вивчення руху рідини, котрий називається методом гідравліки. Його сутність полягає в наступному.

Т ечію рідини подумки розбивають на ряд елементарних струминок (рис. 6.1), щоб вісь кожної з них була дотична до напрямку швидкості. Потім дійсну течію з різними швидкостями окремих струминок заміняють розрахунковою моделлю потоку, котрий рухається як одне суцільне ціле з сталою для всіх частинок в даному перерізі швидкістю.

При такій схематизації течії швидкості і прискорення в напряму, нормальному до основного руху, не враховуються.

Для опису такої течії достатньо тільки однієї координати простору – відстані l вздовж вісі потоку від перерізу, що розглядається, до деякої початкової точки О. Тому такий рух і називають одномірним. Розв’язування задач одномірної течії рідини є предметом гідравліки.

Живим перерізом , м², називається площа поперечного перерізу потоку, яка нормальна до напрямку течії.

Витратою потоку Q, м³/с, називається об’єм рідини, який протікає за одиницю часу через живий переріз потоку , м², тобто

Q = W/t, (6.1)

де W – об’єм рідини в м³, який протікає за час t в секундах (хвилинах, годинах) через живий переріз потоку.

Середня швидкість потоку v, м/с, визначається за допомогою формули

v = Q/ (6.2)

Середня швидкість зв’язана з місцевими швидкостями u в окремих точках живого перерізу співвідношеннями

. (6.3)

Змоченим периметром , м, називається частина периметру живого перерізу, яка обмежена твердими стінками.

Гідравлічним радіусом R, м, потоку називається відношення площі живого перерізу до змоченого периметру

R = /. (6.4)

Гідравлічний радіус характеризує розмір і форму перерізу потоку. Чим більше (для заданої площі перерізу) гідравлічний радіус, тим менша буде змочена поверхня стінок, а отже, тим менші і опори руху, які пропорційні змоченій поверхні.

Масова витрата потоку, кг/с

m = M / t, (6.5)

де М = W – масова витрата потоку за час t, кг;

W = vt; M = vt; m = v;

– густина рідини, кг/м³.

При усталеному русі нестисненної рідини витрата рідини у всіх живих перерізах потоку однакова, тобто

Q = v₁₁ = v₂₂ = . . . = v_n_n = const, (6.6)

де v₁, v₂, . . . , v_n – середні швидкості в відповідних живих перерізах потоку 1 , 2 , . . . n .

Із цього рівняння витікає

v₁/v₂ = ₁/₂ = . . ., (6.7)

тобто середні швидкості зворотно пропорційні відповідним площам живих перерізів.

Рівняння сталості витрати дозволяють розв’язувати задачі на визначення однієї з трьох величин Q, v, , якщо відомі дві інші.

Рівняння Бернуллі. Рівняння Бернуллі є основним рівнянням практичної гідродинаміки. Воно відбиває зв’язок між тиском, середньою швидкістю і геометричною висотою в різних перерізах потоку.

Для двох довільних перерізів 1–1 та 2–2 потоку рівняння Бернуллі в формі напорів має такий вигляд

, (6.8)

де Z₁ – геометрична висота, яка характеризує потенційну енергію положення одиниці ваги рідини (питома енергія положення);

Р/(g) – п’єзометрична висота, яка характеризує потенційну енергію тиску одиниці ваги рідини (питома енергія тиску);

v²/(2g) – швидкісна висота, яка характеризує кінетичну енергію одиниці ваги рідини (питома кінетична енергії);

h_втр^1–2 – втрачена висота, яка характеризує енергію одиниці ваги рідини, яка витрачена на подолання гідравлічних опорів на шляху між перерізами, що розглядаються, (питома енергія, яка втрачається на шляху від першого до другого перерізу);

 – коефіцієнт нерівномірності розподілення швидкості по перерізу потоку (коефіцієнт Коріоліса), який являє собою відношення дійсної живої сили потоку до живої сили, яка розрахована по середній швидкості

. (6.9)

За допомогою рівняння Бернуллі розв’язується більшість задач практичної гідравліки. Для цього вибирають два перерізи по довжині потоку так, щоб для одного з них були відомі величини Z, P, і v, а для другого – одна чи дві з них підлягали визначенню.

Величина h_втр, яка входить в рівняння Бернуллі, представляє собою суму всіх втрат напору, які є на даній ділянці потоку. Втрати напору на подолання гідравлічних опорів h_втр звичайно поділяють на дві групи:

а) втрати напору, які розподілені по довжині потоку (лінійні), h_l – втрати на подолання опору тертя ;

б) місцеві втрати напору h_м – втрати, які викликані різкими змінами конфігурації потоку.

Повні втрати на даній ділянці h_втр дорівнюють сумі всіх втрат

h_втр = h_l + h_м, (6.10)

Рівняння Бернуллі в формі тисків відносно одиниці об’єму має вигляд

gZ₁ + P₁ + ₁v₁²/2 = gZ₂ + P₂ + ₂v₂²/2+ P_втр. (6.11)

Тут кожний член має розмірність тиску і являє собою енергію, яка віднесена до одиниці об’єму. Величину Р називають статичним тиском на відзнаку від величини v²/2, яка характеризує динамічний тиск. Член, який враховує вплив сил ваги, часто називають гравітаційним тиском.

Рівняння (6.11) застосовується в тих випадках, коли п’єзометричні відмітки (в протилежність рівнянню в формі напорів) не є характерними показниками роботи системи, зокрема, для вивчення руху газу (повітря).

Рівняння Бернуллі, яке віднесене до одиниці маси, називають основним рівнянням

gZ₁ + P₁/ + ₁v₁²/2 = gZ₂ + P₂/ + ₂v₂²/2 + Е_П, (6.12)

де Е_П – частина механічної енергії, яка внаслідок в’язкості на ділянці між перерізами 1 і 2 незворотньо перейшла в теплову форму енергії (процес дисипації). Ця теплова енергії розсіялася в навколишньому середовищі.

1. Рівняння рівномірного руху і його характеристики

Загальний вираз для втрат напору на тертя при рівномірному русі рідини в трубах справедливий як для ламінарного, так і турбулентного режимів.

При рівномірному русі величина середньої швидкості і розподілення швидкості по перерізу повинні залишатися незмінними по довжині трубопроводу. Тому рівномірний рух можливий лише в трубах сталого перерізу, коли при заданій витраті крапельної рідини Q середня швидкість буде незмінною .

Рівномірний рух має місце в прямих трубах або в трубах з дуже великим радіусом кривизни R   (прямолінійний рух), оскільки в іншому разі середня швидкість змінюється за напрямком. Нарешті, умову незмінності по довжині труби характеру розподілу швидкості по живому перерізу можна записати у вигляді  = const, де  – коефіцієнт Коріоліса.

В прямолінійному трубопроводі геометричного радіуса r₀ виділимо перерізами 1 і 2 ділянку довжиною l. Крім того, виділимо в трубопроводі перерізами 1 і 2 співвісний циліндр радіусом r і довжиною також l (рис. 6.2).

Оскільки розподіл швидкостей в обох перерізах згідно з припущенням однаковий, то частинки рідини при переході від першого перерізу до другого не зазнають прискорення. Тому можна вважати, що сили, які прикладені до циліндрів, знаходяться в рівновазі.

Рівняння рівноваги на проекції на вісь труби для циліндра радіусом r₀ можна записати в такому вигляді

, (6.13)

або

, (6.14)

де Т – дотичні сили опору, , Н;

₀ – дотичне напруження на стінці труби, Па ;

₀ – змочений периметр живого перерізу потоку в трубі геометричним радіусом r₀ , м ;

₀  l – повна поверхня, де проявляються дотичні сили опору, м² ;

 – площа живого перерізу труби, , м² ;

Р₁ , Р₂ – тиск відповідно в перерізі 1 і 2 , Па.

І з рівняння (6.14) перепад тиску між перерізами 1 і 2 складе

, (6.15)

де R – гідравлічний радіус, , м.

Перепад тиску, який віднесений до труби довжиною один метр, складе

, Па/м (6.16)

Гідравлічний нахил

, (6.17)

де h_l – втрата напору на тертя між перерізами 1 і 2, м.

Із (6.17)

(6.18)

або , (6.19)

де – динамічна швидкість (Dynamic speed), м/с .

Для круглої труби діаметром d і радіусом r₀

, (6.20)

, (6.21)

Для виділеного співвісного циліндра радіусом r

. (6.22)

Для всієї круглої труби радіусом r0 і співвісного циліндра радіусом r перепад тиску однаковий, тоді

. (6.23)

Із (6.23) видно, що закон розподілу дотичних напружень  по перерізу труби лінійний (див. рис. 6.2).

Втрата напору по довжині труби для ламінарних та турбулентних течій визначається за відомою формулою Дарсі-Вейсбаха

, (6.24)

де  – коефіцієнт тертя по довжині труби;

v – середня по перерізу потоку швидкість рідини.

Зв’язок між коефіцієнтом тертя по довжині труби  і дотичним напруженням на стінці труби  має такий вигляд

, (6.25)

, (6.26)

Залежність (6.26) легко вивести із відомої залежності Дарсі-Вейсбаха (6.24) і (6.15).

2. Гідравлічні опори по довжині каналу (труби)