2. Кінематика рідини

1. Методи дослідження руху рідини

2.1.1 Метод Лагранжа і Ейлера

При математичному опису руху рідини можливі два різних підходи, запропонованих Лагранжем і Ейлером. По Лагранжу в рідині виділяється деяка фіксована частинка і задається її траєкторія наступною системою рівнянь

(2.1)

де а, в, с – параметри Лагранжа, які характеризують координати виділеної частинки в початковий момент часу. Використовуючи залежність (2.1), легко знайти складові швидкості u, v, w виділеної частинки рідини в направлені декартових вісей координат

. (2.2)

Абсолютна швидкість в будь-який момент часу може бути записана у вигляді векторної суми складових .

На відзнаку від метода Лагранжа метод Ейлера полягає в тому, що задається не траєкторія виділеної частинки рідини, а все поле швидкостей в рідині, що рухається, як функція координат і часу

(2.3)

Для знаходження швидкості в любій фіксованій точці розглядає мого простору необхідно тільки задати координати цієї точки. Наприклад, визначимо швидкості в точці з координатами х=а, у=в, z=c.

(2.4)

Таким чином, складові швидкості, які в загальному випадку є функції чотирьох змінних, в фіксованій точці простору залежать тільки від часу.

Для знаходження траєкторії конкретної частинки необхідно проінтегрувати систему диференційних рівнянь (2.3). Після виключення із приведеної системи часу t знайдемо рівняння траєкторії рідинної частинки. В результаті інтегрування знову приходимо до системи рівнянь (2.1).

Складові поля прискорень знаходимо прямим диференціюванням залежності (2.3) за часом. В результаті отримаємо

(2.5)

Видно, що в загальному випадку повне прискорення складається із локального прискорення, які визначаємо частковими похідними , і змінами швидкостей, що обумовлені переміщенням частинки в просторі. Ці складові повного прискорення називають конвективними.

Рух рідини в розглядає мого об’ємі може не залежати від часу, тобто в любій точці заданого об’єму швидкість та інші параметри з часом не будуть змінюватися. Такий рух називається стаціонарним. Для нього локальне прискорення дорівнює нулю і в співвідношеннях (2.5) зберігаються тільки конвективні члени. Окремими випадками (2.5) являються стаціонарні плоскі і одномірні течії. При плоскій течії вся зміна швидкості відбувається тільки в площині змінних х і у, а при переході від плоскості z=const до другої зміни її складових не відбувається

.

Тоді

(2.6)

Якщо течія одномірна, тобто зміна швидкості відбувається лише вздовж однієї координати (наприклад, х), то du/dt=udu/dx=cdc/dx.

. (2.7)

2.1.2 Струминковий рух рідини. Живий переріз і витрати рідини

При вирішенні багатьох задач практичної гідродинаміки робиться допущення, що потік рідини, яка рухається, складається із окремих елементарних струминок. Потік – як сукупність елементарних струминок.

Дамо визначення поняттю елементарної струминки і наведемо її властивості.

Розглянемо потік рідини, який знаходиться в сталому русі.

Рисунок 2.1

Траєкторія представляє собою лінію, яка відображає шлях, пройдений фіксованою частинкою за певний відрізок часу.

Лінія току є миттєвою лінією, вздовж котрої в розглянутий момент рухається сукупність частинок.

Побудуємо навколо точки 1 замкнутий контур, який утворює нескінченно малу площадку dw, а через всі точки контуру проведемо лінії току (рис.2.2)

Рисунок 2.2 –

Отримаємо трубку току.

Якщо через всі точки нескінченно малої площадки проведемо лінії току, то отримаємо елементарну струминку, заповнену “пучком” ліній току.

На основі викладеного приймається, що елементарна струминка має такі властивості:

1. Форма елементарної струминки за умов сталого руху не змінюється.

2. Поверхня елементарної струминки не прониклива для частинок рідини сусідніх струминок.

3. Швидкість в усіх точках поперечного перерізу струминки однакові.

Живий переріз і витрати рідини

Живим перерізом називається поверхня в межах потоку рідини, котра нормальна в кожній своїй точці до відповідної усередненої швидкості в цій точці.

Ж ивим перерізом елементарної струминки називається елементарна мала площадка dw, котра є площею поперечного перерізу струминки, нормальна до ліній току (рис. 2.3)

Рисунок 2.3 –

Витратою елементарної струминки, або елементарною витратою, називається об’ємна кількість рідини, яка проходить в одиницю часу через живий переріз елементарної струминки, м³/c

dQ = dwu

Склавши живі перерізи елементарних струминок, отримаємо живий переріз цілого потоку рідини. Позначимо його w:

.

В тому випадку, коли елементарні струминки практично паралельні одна одній (рис. 2.4), живий переріз цілого потоку рідини буде плоским.

Р исунок 2.4 –

В зв’язку з цим встановимо поняття про так званий плавно змінюючийся рух, коли кути розходження його струминок (ліній токів) дуже малі і вельми незначна їх кривизна.

Очевидно, що в умовах руху, що плавно змінюється, за живий переріз може бути прийнята площина нормальна до напряму руху, котра дуже мало буде відрізнятись від живого перерізу в строгому розумінні.

Середня швидкість – це швидкість, з якою повинні були рухатись всі частинки рідини через даний живий переріз, щоб витрати всього потоку дорівнювали витратам, які відповідають дійсним швидкостям цих частинок.

Середня швидкість v є основою прямокутника АЕFD (рис. 2.5), рівновеликого епюрі швидкостей АВСД.

Р исунок 2.5 –

При рівномірному русі величина середньої швидкості буде однакова для всіх живих перерізів вздовж потоку.

Навпаки, при нерівномірному русі середня швидкість змінюється вздовж потоку в зв’язку зі зміною площин живих перерізів.

Витратами рідини в перерізі, який розглядається, називається об’єм рідини, який проходить в одиницю часу через живий переріз потоку.

Витрати потоку Q дорівнюють сумі витрат елементарних струминок dQ, які пересікають живий переріз потоку

2.1.2 Види руху рідини

Рівномірний і нерівномірний рух.

Напірний і безнапірний рух.

Сталий і несталий рух.

Розрізнюють сталий і несталий рухи.

С талий рух поділяється на рівномірний і нерівномірний (див. рис. 2.6)

u_ср1 u_ср2 u_ср1 u_ср2

w₁ w₂ w₁ w₂

u_ср1 = u_ср2; w₁ = w₂ u_ср1  u_ср2; w₁  w₂

Рівномірний рух Нерівномірний рух

Рисунок 2.6 –

Сталий рух поділяється на напірний і безнапірний.

Н апірний рух рідини здійснюється під дією перепаду тиску в каналі.

Безнапірний рух рідини здійснюється під дією гравітаційних сил.

Напірний рух в трубі Безнапірний рух

Канал має нахил

Рисунок 2.7

2.1.4 Деформаційний і обертальний рух рідинного елемента

Конвективне прискорення, яке визначається співвідношенням ( ) має компоненти швидкості і їх похідні по однойменним ( ) і різнойменним ( ) координатам. З’ясуємо фізичний зміст цих похідних.

Частинні похідні від складових швидкості по однойменним координатам

Р озглянемо рідинний елемент АВ (рис. 2.8) довжиною dх, який рухається вздовж вісі х.

Якщо швидкість в точці А дорівнює , то в точці В маємо . При цьому за час dt відбувається не тільки зміщення виділеного елемента вздовж вісі х, але і його лінійна деформація. Ця деформація дорівнює . Аналогічно одержимо абсолютні лінійні деформації вздовж осей у і z. Вирази визначають відносні лінійні деформації. Розділивши їх на dt, одержимо швидкості лінійних деформацій

(2. )

Таким чином, частинні похідні від складових швидкості по однойменним координатам визначають швидкості відносних лінійних деформацій рідинного елемента вздовж координатних осей.

Частинні похідні від складових швидкості по різнойменним координатам

Рідинний елемент, який орієнтований вздовж вісі х, під час руху у напрямку вісі у (рис. 2.9) за час dt із положення АВ переміститься в положення АВ зазнавши кутову деформацію, яка дорівнює

()

або . Отже похідні від складових швидкості по різнойменним координатам визначають швидкості кутової деформації рідинного елемента.

Рух рідинного елемента в загальному випадку: одночасне обертання і деформація зсуву(скривлення) частинки рідини

Розглядаючи рух реальної рідини, часто можна спостерігати області, де має місце її інтенсивне обертання, яке нагадує обертання т твердого тіла. Однак, якщо частинки твердого тіла при обертанні не змінюють відносного розташування, то в рідині одночасно з обертанням відбувається деформація зсуву або скривлення частинки.

Спробуємо різділити вказані складові руху (обертання і деформація зсуву). Для цього спроектуємо на площину Х0Z елементарний рідинний паралелепіпед (рис. ). При переміщенні його із положення І у положення ІІ кути не зберігаються прямими. В новому положення проекції вихідного паралелепіпеда будуть АВСD. Кути d₁ і d₂ згідно співвідношення ()зв’язапі з проекціями швидкості u і v таким чином

. ()

Р исунок 2.__ –

Деформація кутів вихідного паралелепіпеда відбувається в результаті складання повороту d і деформації скривлення (зсуву) d. Якщо припустити, що деформація скривлення по всіх гранях однакова і характеризується кутом d, то

. ()

При воборі знаків будемо вважати кут позитивним, коли він відраховується в напрямку кругової перестановки індексів координатних вісей. Якщо кути відраховуються в напрямку вісі Z до вісі Х, від вісі Х до вісі У і від У до Z, то цим кутам будемо приписувати позитивний знак. При підрахунку кутів у зворотному напрямку їх значення будуть мати від’ємний знак. Складаючи і віднімаючи послідовно рівняння ( ), знайдемо значення кута d, який характеризує обертання і кута d, який характеризує деформацію зсуву

. ()

Використовуючи ( ) і ділячи ( ) на dt, одержимо складові швидкості кутового повороту (кутова швидкість обертання _у) і швидкості деформації зсуву або скривлення _у

( )

Аналогічні міркування стосовно проекцій вихідного паралелепіпеда на інші координатні площини дають можливість визначити усі складові вектора кутової швидкості  і вектора деформації 

( )

Складові векторів, що розгядаються, визначаються за формулами

( )

Індекси вказують координатну вісь, перпендикулярно до якої розташована площина проекції вихідного паралелепіпеда, або вісь навколо якої розглядається поворот (обертання) рідинної частинки.

Використовуючи рівняння ( ) легко знайти швидкості скривлення прямих кутів (сумарну швидкість кутової деформації) у площинах ху; ух; zx.

Позначимо ці швидкості

. ()

Об’ємна деформація, швидкість об’ємної деформації

Виділимо в рідині елементарний рідинний об’єм у формі паралелепіпеда і розглянемо його деформацію за час dt.

Якщо у початковий момент часу паралелепіпед займав деяке положення І, то через проміжок часу dt відбувається його зміщення в положення ІІ. При цьому внаслідок лінійної деформації ребер зміниться його початковий об’єм. Зміною довжини ребер, яка обумовлена їх кутовою деформацією, можна знехтувати.

Знайдемо зміну початкового об’єму dV₁= dx dy dz при зміщенні його із положення І в положення ІІ, маючи на увазі лінійну деформацію ребер, яка визначається виразами ( )

. ( )

Перемноживши вирази в дужках і відкинувши малу вищих в порівнянні з dV порядків, одержимо

Відносна зміна початкового об’єму за час dt

Звідси швидкість відносної зміни рідинного об’єму (швидкість об’ємної деформації) в точці

( )

Одержане співвідношенняч у векторному обчисленні називають дивергенцією вектора швидкості с і позначають div c.

Отже

( )