3. Ламінарна течія в круглих трубах Ламінарна течія. Гідравлічний опір і розподіл швидкостей по перерізу потоку

Усталена ламінарна течія рідини в прямій круглій циліндричній трубі з внутрішнім діаметром d = 2r₀ (рис. 8.5). Течія далеко від входу труби.

До уваги прийнято, що d = const, = const,  = const.

Рівняння Бернуллі дла даних умов прийме вигляд

, (8.23)

де h_l – втрати напору на тертя по довжині.

Звідсілля

, (8.24)

що і показують п’єзометри, які встановлені в цих перерізах.

В потоці рідини виділено циліндричний об’єм радіусом r, який має основи у вибраних перерізах. Запишемо рівняння рівномірного руху виділеного об’єму рідини в трубі, тобто рівність нулю суми сил, які діють на об’єм: сил тиску і опору

,

звідкіля дотичне напруження на боковій поверхні циліндра

. (8.25)

Епюра дотичних напружень показана на рис. 8.5. Зміна  лінійна. Епюра не залежить від режиму течії.

Виразимо  за законом тертя Ньютона через динамічну в’язкість  і поперечний градієнт швидкості

. (8.26)

Знак мінус обумовлений тим, що напрямок підрахунку r (від осі до стінки) протилежний напрямку підрахунку у (від стінки).

Поєднуючи два рівняння (8.25) і (8.26) маємо

. (8.27)

Звідсіля приріст швидкості

.

При додатному прирості радіуса маємо від’ємний приріст (зменшення) швидкості, що відповідає профілю швидкостей на рис. 4.3.

Виконавши інтегрування, одержимо

. (8.28)

Сталу інтегрування С₁ знайдемо із умови, що на стінці при r = r₀, u = 0

.

Швидкість по колу радіусом r

. (8.29)

Цей вираз є законом розподілення швидкостей по перерізу круглої труби при ламінарній течії. Крива (8.29) є параболою другого степеня.

Максимальна швидкість (Lofty speed) в центрі перерізу при r0

. (8.30)

Відношення є сталим вздовж прямої труби сталого діаметра.

Визначимо об’ємну витрату рідини Q через переріз труби. Для цього виразимо спочатку елементарну витрату через нескінченно малу площадку ds: dQ = u ds. В даному випадку u є функцією радіуса, яка визначається за залежністю (6.42), а площадку ds доцільно взяти у вигляді кільця радіусом r і шириною dr , тоді

. (8.31)

Після інтегрування по всій площі поперечного перерізу, тобто від r = 0 до r = r₀

. (8.32)

Середню по перерізу швидкість знайдемо діленням витрати на площу

. (8.33)

Порівняння цього виразу із залежністю (8.27) показує, що середня швидкість при ламінарній течії в два рази менша максимальної ср = = 0,5vmax.

Закон опору, тобто вираження втрати hl на тертя через витрату і розміри труби. Визначимо Рl із формули (8.33)

. (8.34)

Розділемо цей вираз на g (Р_l = h_lg), а також перейшовши від r0 до d = 2r₀, знайдемо

. (8.35)

Тут h_l  Q, h_l v, h_l  1/d⁴. Цей закон, який звичайно називають законом Пуазейля, використовується для розрахунку трубопроводів з ламінарною течією.

Зведемо закон опору (8.35) до вигляду формули Дарсі-Вейсбаха

. (8.36)

Для цього у формулі (8.36) замінимо витрату добутком d²v_ср/4 і помноживши і розділивши на vср і перегрупувавши множники, після скорочення одержимо

,

або, привівши до вигляду формули (8.36), знайдемо

,

де л – коефіцієнт гідравлічного тертя для ламінарної течії, тобто

. (8.37)

Коефіцієнт Коріоліса  = 2 для ламінарної течії

Теорія не виконується:

1. при течії на початковій ділянці;

2. при течії з теплообміном;

3. при течії в капілярах і зазорах з облітерацією;

4. при течії з великим перепадом тиску.