4. Фізичні властивості, гідро- і термодинамічні моделі рідин і газів

1. Фізичні властивості

Визначення рідини. Рідиною називається фізичне тіло, яке сильно опирається зміні свого об’єму (в протилежність газам) та слабко опирається зміні своєї форми (в протилежність твердим тілам).

Рух рідин і газів під дією зовнішніх і внутрішніх сил супроводжується зміною форми, а в загальному випадку – і об’єму виділеної її частини.

В гідрогазодинаміці звичайно абстрагуються від молекулярної структури потоків, що досліджуються, і розглядають умовну модель середовища, яке має безперервний розподіл всіх характеристик (параметрів). Гіпотеза неперервності (суцільності) об’єднує рідини і гази в єдину категорію текучих, легкодеформівних середовищ. Разом з тим між рідинами і газами існує принципова різниця.

В рідинах сили міжмолекулярного зчеплення більш значимі у порівнянні з газами, тому що відстані між молекулами малі. Через цю причину рідини можна вважати слабкостисливими середовищами або, спрощено, нестисливими.

Ефекти стисливості інтенсивно проявляються при русі газів в каналах з великими швидкостями і при обтіканні тіл різної форми потоком великої швидкості. При невеликих швидкостях і відсутності теплообміну стисливість газів проявляється слабко. Разом з тим стисливість крапельних рідин також проявляється при великих тисках. Отже, стисливість властива всім рідинам і газам, однак її кількісний прояв різний в залежності від фізичних властивостей середовища.

Це стало підґрунтям об’єднати суцільні середовища, які мають загальні властивості суцільності і легкої рухливості, під загальною назвою рідини, виділяючи в міру необхідності практично нестисливі (крапельні) і стисливі (газоподібні) рідини.

Під час руху всі рідини мають внутрішнє тертя (Internal friction), яке обумовлене в’язкими властивостями середовища. Вплив в’язкості на характер течії рідини неоднозначний. В деяких випадках відіграє вирішальну роль і визначає рух середовища. В інших випадках її вплив проявляється слабко і уявлення про характер течії можна одержати без врахування в’язких сил. Нехтування в’язкими силами суттєво спрощує аналітичне дослідження. Замість реальної рідини виявляється доцільним розглядати модель ідеальної рідини.

Ідеальна рідина (Ideal liquid) – це абстрактна рідина без внутрішніх сил тертя. Вказану модель слід розглядати як перше, але важливе, наближення до реальної моделі течії. При вивченні в’язких властивостей виявляється також різниця між крапельною і стисливою рідиною, яка обумовлена молекулярною структурою : в’язкість нестисливої рідини з ростом температури зменшується, а в’язкість газів зростає.

Крапельна рідина приймає форму посудини і утворює поверхню вільного рівня, яка відокремлює її від других рідин або газів з іншими фізичними властивостями. На такій поверхні особливо інтенсивно проявляється дія молекулярних сил зчеплення, що призводить до появи сил капілярності, змочуваності твердих поверхонь і до виникнення крапель і менісків.

Густиною рідини  називається її маса, яка міститься в одиниці об’єму, кг/м³

, (1.34)

де М – маса рідини (кг) в об’ємі W (м³).

Густина прісної води при температурі 4 С _в = 1000 кг / м³.

Питомою вагою однорідної рідини , Н / м³, називається вага G одиниці об’єму цієї рідини

. (1.35)

Питома вага прісної води при температурі 4 С _в = 9810 Н / м³.

Між густиною і питомою вагою існує взаємозв’язок

. (1.36)

Стисливість крапельних рідин під дією тиску характеризується коефіцієнтом об’ємного тиску _W , який являє собою відносну зміну об’єму рідини на одиницю зміни тиску, Па^-1

, (1.37)

де W – початковий об’єм рідини, м³ ;

W – зміна цього об’єму при збільшенні тиску на величину Р.

Температурне розширення крапельних рідин характеризується коефіцієнтом температурного розширення , С ^–1 або К^–1 , який виражає відносну зміну об’єму рідини при зміні температури на 1С (1 К)

, (1.38)

де W – зміна об’єму, яка відповідає зміні температури на величину t .

Властивість рідин змінювати густину (питому вагу) при зміні температури широко використовується для створення природної циркуляції в котлах, опалювальних системах, для видалення продуктів спалювання тощо. На відміну від крапельних рідин гази характеризуються значною стисливістю і температурним розширенням. Залежність густини газів від тиску і температури встановлюється рівнянням стану.

В ’язкість рідини. Всі реальні рідини мають певну в’язкість, яка проявляється у вигляді внутрішнього тертя при відносному переміщенні суміжних частинок рідини. В’язкість рідини – це її властивість чинити опір відносному зрушенню частинок.

Розглянемо частковий випадок плоского руху в’язкої рідини коло твердої поверхні АВ (рис. 1.1).

При відсутності в’язкості всі частинки рідини, які розташовані на нормалі до поверхні, що розглядається, мали б одну і ту ж швидкість.

В реальній в’язкій рідині згідно з гіпотезою “прилипання” швидкість частинок рідини на поверхні АВ дорівнює 0. В’язкі сили, які діють в рідині, призводять до її гальмування коло пластини. Має місце плавне наростання швидкості по нормалі від 0 на стінці до сталої швидкості u₀ на значній відстані від неї. В результаті профіль швидкості в фіксованому перерізі приймає вигляд, зображений на рис. 1.1. Нехай швидкість u не залежить від повздовжньої координати х і змінюється лише по нормалі у до поверхні. Згідно із законом Ньютона сила тертя між шарами рідини дорівнює, Н

, (1.39)

де  – площа, на якій діє сила тертя, м² ;

– швидкість відносної кутової деформації (в даному випадку = ), с^–1;

 – коефіцієнт пропорційності, який називають динамічною в’язкістю, Пас.

Дотичне напруження, Па

. (1.40)

Динамічна в’язкість залежить від фізичних властивостей рідини і її температури.

Кінематична в’язкість, м² / с

. (1.41)

Поверхневий натяг рідини, який зумовлений силами взаємодії молекул поверхневого шару рідини між собою і молекулами газу, намагається скоротити вільну поверхню рідини. Внаслідок цього рідина, що має криволінійну поверхню, зазнає додаткового зусилля, яке збільшує або зменшує тиск в рідині на величину, Па

, (1.42)

де  – поверхневий натяг, Н/м ;

r₁ , r₂ – головні радіуси кривизни елемента поверхні, що розглядається, м.

Тиск при випуклій поверхні рідини збільшується, а при вогнутій – зменшується. Поверхневий натяг для води, яка стикається з повітрям, при температурі 20 С  = 0,026 Н/м. В кульці рідини радіусом r (r = r₁ = r₂) оточеній газом (парою) згідно із залежністю (1.42)

, (1.43)

Особливо сильно поверхневий натяг проявляється в трубах малого діаметра (капілярних), для яких формула (1.42) приймає вигляд

або , (1.44)

де r – радіус трубки, м ;

h_пов – висота капілярного підйому, м.

2. Гідродинамічні моделі рідин і газів

Гідродинамічні моделі рідин і газів

1. " Ідеальна", нестислива і нев’язка, безперервна, ізотропна і однорідна рідина.

Ідеальна рідина Ейлера-Лагранжа два сторіччя знаходить успішне застосування в теоретичній і прикладній механіці рідини та газу.

Рівняння реологічного стану

, (1.45)

де Р – тиск;

_{i j} - тензор напружень;

_{i j} - тензорна одиниця (символ Кронекера)

(1.46)

2. концепція лінійно-в’язкої, нестисливої, ізотропного і однорідного середовища Ньютона. Це порівняльно простий клас реальних рідин характеризується тим, що вектор напружень , який описує дію внутрішніх поверхневих сил на виділену всередовищані контінуума довільну площадку, визначається співвідношенням

, (1.47)

де - тензор напружень, який враховує реакції, які виникають в середовищі при її течії.

Середовище Ньютона характеризується реологічним рівнянням

, (1.48)

де - тензор швидкостей деформацій;

 - зсувна в’язкість (константа);

- ізотропний гідродинамічний тиск, який співпадає з термодинамічним.

3. (З 1915 року – початок) Текучі системи, реологічно більш складні, ніж ньютонівські рідини, і одночасно наділені більш складними в загальному випадку одним двома і більше нелінійними фундаментальним властивостями: в’язкістю, пластичністю, зсувною пружністю, високою еластичністю, міцністю. Серед них особливе місце займаютьненьютонівські ізотропні середовища, для яких тензор напружень є безперервною функцією тензора швидкостей деформації і не залежить від інших кінематичних і динамічних перемінних, тобто

. (1.49)

Існує строгий доказ того, що найбільш загальним визначаючи виразом реологічної залежності ( ) є нелінійна модель чисто в’язкого неньютонівського середовища Стокса

, (1.50)

де ,  - скалярні функції головних інваріантів тензора швидкостей

(1.51)

Таким чином, модель чисто в’язкої стоксової рідини в принципі має як скалярну (в координатах F, , ), так і тензорну (добуток тензорів ) нелінійності. В залежності від виду скалярних функцій  і  одержуємо різні реологічні моделі неньютонівських середовищ. Напрклад, випадок  = 2 = const і  = 0 відповідає узагальненій лінійно-в’язкій моделі Ньютона.

Завдання і  = 0 приводить до популярної реологічної моделі Освальда-де Віля. При і  = 0 приходимо до узагальненої моделі в’язко-пластичного середовища Шведова Бінгама.

3. Характеристичне рівняння рідини і газу

В основному диференціальному рівнянні гідростатики

(1.52)

невідомі дві величини : Р і  ( значення X, Y, Z, а також координати точки звичайно задані). Таким чином, для визначеності рішення треба мати ще одно незалежне рівняння, в якості котрого використовується так зване характеристичне рівняння, яке визначає собою особливості даної рідини. наприклад, розглядаючи рівновагу крапельної рідини і вважаючи її абсолютно нестискаємою, характеристичним рівнянням буде умова

, (1.53)

а для газа рівняння Бойля-Маріотта

. (1.54)

В загальному випадку умову рівноваги можна записати у вигляді функції, яка характеризує особливості стискання даної рідини

(1.55)

Контрольні запитання

1.

2.

3.

4.

5.

6.