2. Динаміка потенціальних течій

немає

8. Динаміка в’язкої рідини

1. В’язкість рідини. Формула Ньютона. Ламінарна та турбулентна течія рідини. Критерій Рейнольдса

Б удь-яка реальна рідина і газ маютьвластивість в’язкості. В’язкість є однією з причин, що спричиняє опір руху рідини по трубах і каналах (внутрішня задача гідромеханіки) і руху тіла (зовнішня задача гідромеханіки).

Між шарами в потоці в’язкої рідини діють сили, які дотичні до напрямку їх руху. При цьому шари рідини, що розташовані ближче до стінки, пригальмовують верхні шари, що призводить до характерного вигляду епюри швидкості, що показана на рис. 8.1.

Сили тертя, які виникають між шарами рідини, що рухається,із площею дотику dS (рис. 8.1), можна визначити на основі формули Ньютона

(8.1)

або, якщо віднести силу тертя до площі dS і позначити отримане при цьому дотичне напруження через ,

(8.2)

У цій формулі – похідна, що характеризує зміну швидкості у поперечному до шару напрямку, яка згідно рис. 8.1 ,  – динамічний коефіцієнт в’язкості, який залежить від властивостей рідини.

Формула (8.2) , яка запропонована Ньютоном спочатку як гіпотезаі в подальшому ретельно перевірялася досліним шляхом, у теперішній час загальноприйнята у гідромеханіці для розрахунку дотичних напружень при ламінарній течії рідин.

Ламінарною течією (тобто течією шарами), низивається течія в’язкої рідини, при якій відсутнє перемішування між її шарами. Невпорядкований рух в’язкої рідини з інтенсивним перемішуванням частинок надивається турбулентним. У випадку турбулентної течії формулу Ньютона застосовувати не можна.

Динамічний коефіцієнт в’язкості  залежить від роду рідини, її температури і (в малому ступені) від тиску. Її розмірність відповідно до (8.2) [] =ML^-1T^-1.

В системі одиниць СИ розмірність [] =Нсм^-2.

Широке застосування у гідромеханіці знаходить також кінематичний коефіцієнт в’язкості , який є відношенням  до густини 

(8.3)

Розмірність [] =L² T^-1, звідси витікає, що коефіцієнт  не входить у динамічні характеристики.

Н а рис. 8.2 показані залежності кінематичного коефіцієнта  у функції від температури – для води і у функції від температури та тиску – для повітря. Як видно із рисунку, для води цей коефіцієнт приблизно на порядок менший, ніж для повітря. Це означає, що вода відносно менш в’язка рідина, ніж повітря. Коефіцієнти  та  визначаються дослідним шляхом.

Рисунок 8.2 – кінематична в’язкість води та повітря

З’ясуємо фізичну причину виникнення в’язкості на прикладі газу; для цього потрібно врахувати його молекулярну будову.. молекули газу, який рухається, здійснюють хаотичний тепловий рух, перестрибуючи із шару у шар. При цьому відбувається обмін кількістю руху між шарами.

Між шарами, відповідно до закону про зміну кількості руху, виникають силиттертя. Цей обмін кількістю руху здійснюється на “молекулярному рівні”. Таким чином в’язкість обумовлена наявністю молекулярного руху газу.

Вводячи коефіцієнт в’язкості  як фізичну характеристику рідини і тим самим побічно враховуючи дію цього молекулярного руху в газі, можна в подальшому так само використовувати гіпотезу суцільності для в’зкої рідини, не приймаючи до уваги прямого врахування молекулярних взаємодій.

Із формули (8.2) видно, що дотичне напруження рівне нулю, якщо  = 0, тобто якщо рідина позбавлена властивості в’язкості. Другий фактор, що визначає наявність дотичних напружень в рідині, пов’язаний із існуванням зміни швидкості по нормалі. Якщо = 0, то  = 0 навіть у в’язкій рідині.

Покажемо, що виникнення дотичних напружень у в’язкій рідині пов’язане із наявністю відносних швидкостей деформацій. Відповідно до рис. 8.1 дотичне напруження діє у площадці, нормаль до якої співпадає із віссю у. При цьому .

Позначимо  = _ух і перепишемо формулу (8.2)

(8.4)

де величина _z є відносною швидкістю кутової деформації частинки, тобто згідно із (8.4) дотичне напруження пропорційне (з коефіцієнтом пропорційності 2) відносній швидкості кутової деформації.

Оскільки кутова швидкість у плоскому потоці, де , _z відмінна від нуля, а відповідно, рух в’язкої рідини в області близькій до стінок є вихоровим.

Опираючись на досвід, відмітимо, що не у всіх в’язких рідинах зв’язок між дотичними напруженнями і швидкостями деформації підкорюється формулі Ньютона (8.2) або (8.4). Рідини, що підкорюються цьому закону, називаються нормальними, або ньютонівськими. До них відносяться найбільш важливі рідини і гази, такі, як вода, повітря, нафтопродукти, ртуть тощо.

Ламінарна та турбулентна течія рідини. Критерій Рейнольдса

Існує два режими течії рідини : ламінарний і турбулентний. При ламінарному режимі рідина рухається струминками або шарами без взаємного перемішування. При турбулентному режимі, навпаки, відбувається досить сильне перемішування частинок рідини.

Безрозмірне число Рейнольдса дозволяє судити про характер руху рідини

, (8.5)

де l – характерний лінійний розмір потоку, м ;

 – кінематична в’язкість рідини, м²/с .

Для труб круглого перерізу число Рейнольдса розраховують за формулою

, (8.6)

де d – діаметр труби, м .

Для всіх інших поперечних перерізів (а також для відкритих русел)

, (8.7)

або , (8.8)

де d_е – еквівалентний (гідравлічний) діаметр, м, .

Критерієм, який визначає режим потоку є нерівність

,

де Re_кр – критичне значення числа Рейнольдса.

Критичним значенням числа Рейнольдса можна вважати :

– відповідно до формули (8.7) Re_кр = 2000...2400 ;

– відповідно до формули (8.8) Re_кр = 500...600 .

Якщо заміряти швидкість в турбулентному потоці в певній точці, то характер зміни швидкості в часі буде мати вигляд, близький до показаного на рис. 6.3.

Для миттєвих значень складових швидкості і тиску мають місце співвідношення:

(8.9)

д е – інтеграл на достатньо великому проміжку часу t₀ від дійсного значення швидкості, тобто осереднена в часі складова дійсного значення швидкості вздовж осі х; .

Тоді усереднені в часі значення пульсаційних величин будуть дорівнювати нулю

.

Пульсаційні складові швидкості, як і всі інші періодично змінні величини, можуть бути охарактеризовані частотою  і амплітудою А. Турбулентний рух має широкий діапазон величин А і . В кожній точці турбулентного потоку мають місце пульсаційні швидкості з цілим спектром частот : низькі – 5...10 Гц, дуже високі – 50...100 Гц. Переважають завжди низькочастотні коливання.

Середня амплітуда пульсації характеризується величинами

(8.10)

Ступенем інтенсивності турбулентності називають відношення середньоквадратичної величини швидкості пульсації до середньої швидкості потоку

(8.11)

де .

Величина інтенсивності турбулентності змінюється від 0,3 % в атмосфері до 7...8 % і більше в машинах.

Природа дотичних напружень, які виникають в турбулентному потоці, більш складна, ніж в ламінарному. В процесі турбулентного перемішування маси рідини із центральної частини труби попадають в область потоку біля стінок, і навпаки, частинки, які рухаються біля стінок – в центральну область потоку. Маси, які переміщуються із центральної частини потоку до периферії, мають більші повздовжні швидкості, ніж ті, що переміщуються в протилежному напрямку, оскільки осереднена місцева швидкість більша в центральній області потоку. Маси, які рухаються з меншими швидкостями, коли попадають в область більших осереднених швидкостей, гальмують рух рідини в цій області. Таким чином, обмін масами рідини в потоці в поперечному напрямку призводить до відповідного обміну кількістю руху.

Для найпростішого випадку плоскопаралельного турбулентного потоку, який тече вздовж осі х , можна записати

. (8.12)

Перший доданок відповідає в’язкісним дотичним напруженням, які визначаються за гіпотезою Ньютона, а другий _т – турбулентним напруженням.

Якщо подати турбулентні напруження за аналогією із законом Ньютона

, (8.13)

то величину А в цій формулі можна розглядати як коефіцієнт “турбулентної в’язкості“, викликаний макропереносом кількості руху скінченних об’ємів рідини поперечними пульсаціями швидкості. Якщо на випадок руху в плоскій трубі припустити, що величина А стала по перерізу, і визначити її за виміряним опором труби, то виявиться, що вона в десятки разів перебільшує величину коефіцієнта молекулярної в’язкості .