Напівемпіричні теорії турбулентності

, (8.49)

де в  і А – різна роль в залежності від відстані до стінки.

Для  в ядрі потоку

. (8.50)

Теорія Прандля (німецький фізик)

, (8.51)

де l – довжина шляху змішування; _Т не тільки по величині, але й по знаку

. (8.52)

Для практичного використання додаткові гіпотези по l.

Найбільш проста гіпотеза Прандтля

l =  у, (8.53)

де  – стала; у – відстань від точки до стінки.

З урахуванням цього абсолютна величина _Т

Для визначення  потрібні досліди   0,4.

Логарифмічний закон розподілення швидкостей

 стала по перерізу потоку, тобто  = _о , де _о – напруження тертя біля стінки.

Введемо величину

,

котра має розмірність швидкості, характеризує напруження тертя біля стінок, віднесене до густини рідини. Тоді, полагаючи  = _Т, на основі

(8.54)

одержимо наступне диференційне рівняння

. (8.55)

По перерізу потоку v^* є сталою, інтегруючи це рівняння, знаходимо

, (8.56)

де С_о – стала.

Формулу (9) вигідно представити у вигляді безрозмірного співвідношення.

Добавимо і віднімемо із правої частини сталий додаток , а потім позначимо , де С – нова стала, і обєднуючи доданки, знаходимо

(8.57)

v^* [м/с].

При у = 0, поблизу стінки, , що не дозволяє використовувати межові умови прилипання рідини на стінці для знаходження сталої С.

5. Сумісний аналіз диференціальних рівнянь Ейлера (ідеальна рідина), Навьє-Стокса (в’язка рідина), Рейнольдса (турбулентна течія). Тензор турбулентних напружень

Рівняння руху в напруженнях:

Задано: F_x, F_y, F_z, .

Знайти: u, v, w; P_xx, P_yy, P_zz; P_xy, P_xz, P_yz.

(8.58)

Тензор напружень

Узагальнений закон Ньютона

Нормальні компоненти тензора напружень:

Р_іі (це Р_хх, Р_уу, P_zz), c_i (це u, v, w), х_і (це x, y, z)

ідеальна

рідина

в’язка нестискальна

рідина

в’язка стискальна рідина

Дотичне напруження

Рівняння руху стисливої рідини і газів:

Система 6 рівнянь – 6 невідомих (u, v, w; P, , )

Рівняння руху в’язкої нестисливої рідини

Рівняння вперше було одержане в 1845 році Стоксом і називається рівнянням стокса (Нав’є–Стокса).

Із попереднього: ; ; .

Нелінійні диференціальні рівняння в часткових похідних другого порядку:

(8.59)

де  – оператор Лапласа.

Система замкнута: 4 рівняння – 4 невідомих (u, v, w; P).

Рішення слід підпорядкувати початковим та межовим умовам. Всі міркування нев’язкої рідини зберігаються. Принципово нове – межові умови С_n = 0; С_ = 0.

Рівняння Рейнольдса

При однорідній рідині при відсутності вільної поверхні масові сили (вага) врівноважуються гідростатичною пдйомною силою, і якщо під тиском Р розуміти різницю між дійсним тиском і тиском в стані спокою, випадає із рівняння руху.

Рівняння руху при відсутності масових сил, нестискальна рідина

– тензор турбулентних напружень.

Для того, щоб система рівнянь Рейнольдса стала замкнутою, необхідно ввести ще сість рівнянь, які зв’язують компоненти турбулентних напружень з усередненими складовими швидкостей.

В декартових координатах (відсунті масові сили, нестискальна рідина):

х = х₁, у = х₂, z = х₃, u = v₁, v = v₂, w = v₃$

(8.60)

.

Рівняння руху рідини Ейлера (1), Нав’є–Стокса (2), Рейнольдса (3)

.

(1)

(2)

(3)