10. Рух газу з до- та надзвуковими швидкостями

1. Одновимірні течії газу

Рівняння Бернуллі для адіабатної течії газу, швидкість звуку, максимальна і критична швидкість, критичні параметри

Для одновимірних потоків характерна зміна параметрів тільки в одному напрямку. Наприклад, швидкість С, тиск Р, густина , температура Т залежать від однієї координати l і часу 

.

Ці обставини суттєво спрощують всі вихідні рівняння і дозволяють врахувати і проаналізувати вплив різних зовнішніх дій на структуру потоку.

Одновимірною можна вважати течію рідини в каналі з поперечним перерізом, що плавно змінюється, і малою кривизною осі. Одночасно вводиться припущення про сталість всіх параметрів потоку в поперечному перерізі каналів або замість дійсних величин використовуються їх середні значення.

Ця наближена модель потоку в багатьох випадках досить добре збігається з експериментом.

Рівняння безперервності для двох довільних перерізів 1 і 2 при відсутності масообміну із зовнішнім середовищем приймає вигляд

. (10.1)

Логарифмуючи вираз (10.1), одержимо

. (10.2)

А логарифмічний диференціал від (10.1) має вигляд

. (10.3)

При цьому враховані такі перетворення

(10.4)

Рівняння кількості руху для одновимірної сталої, енергоізольованої течії при відсутності масових сил, безпосередньо витікає із рівняння Ейлера

(10.5)

Його інтегралом є рівняння Бернуллі для баротропної рідини

(10.6)

Ізоентропійний (адіабатний) процес описується залежностями

. (10.7)

Рівняння енергії (теплоємності) для ідеальної рідини, що стискається, має такий же вигляд для ізоентропійного, як і рівняння кількості руху

(10.8)

Параметри гальмування

Записуючи (10.8) для перерізу, де швидкість зменшується до нуля і, отже, потік гальмується, знайдемо вираз для сталої в правій частині (10.8). Ця стала може бути подана різними способами

, (10.9)

де h₀ – ентальпія загальмованого потоку або його повна енергія;

Р₀, ₀, Т₀ – параметри загальмованого потоку або параметри повного гальмування.

При повному гальмуванні потоку вся кінетична енергія переходить в теплову і температура Т₀, як і ентальпія, також має одне певне значення. Тиск гальмування Р₀ і густина ₀ можуть приймати різні значення, але їх відношення Р₀/₀ повинно залишатися сталим. При використанні параметрів гальмування рівняння енергії (теплоємності) можна записати таким чином:

; (10.10)

; (10.11)

. (10.12)

Як видно із (10.10) – (10.12), в сталому енергоізольованому потоці сума кінетичної і потенціальної енергії (віднесеної до одиниці маси) стала вздовж трубки течії.

Якщо газову струмину загальмувати цілком, то параметри газу досягають максимального значення. При ідеальному гальмуванні газової течії перехід від стану руху до загальмованого стану описується рівнянням ідеальної адіабати

(10.13)

де k – показник адіабати.

Швидкість звуку

Під швидкістю звуку (Speed of sound) а розуміють швидкість розповсюдження малих збурювань. Дозвукова течія реалізується при C а, надзвукова – C а.

Є принципова різниця в поведінці дозвукових і надзвукових потоків. Оцінка тієї межі швидкостей, де ще можна вважати рідини нестисливими і не враховувати в розрахунках зміну їх густини, дуже важлива.

Правильна оцінка швидкості звуку дозволяє визначати не тільки методи розв’язання газодинамічних задач, але й правильність кінцевих результатів.

В однофазному ізоентропійному потоці швидкість розповсюдження слабих збурювань (швидкість звуку) залежить від фізичних властивостей середовища, його температури і визначається за допомогою залежностей

,

. (10.14)

Критична швидкість

Із аналізу рівнянь (10.10) – (10.12) – швидкість потоку не може рости нескінченно, а обмежується деякою максимальною величиною Смакс. Вона досягається при повному переході всієї наявної енергії в кінетичну.

Отже, із (10.10) – (10.12)

,

. (10.15)

Оскільки швидкість звуку визначається за залежностями (10.14), а для загальмованого потоку

. (10.16)

Перетворимо (10.11) до вигляду

. (10.17)

Звідсіля

. (10.18)

Фізично максимальна швидкість відповідає витіканню газу в абсолютний вакуум (h = 0, P = 0, T = 0). Практично така швидкість недосяжна. Таким чином, максимальна швидкість є теоретичною межею для швидкості газу.

Використовуючи (10.18), запишемо (10.17) у вигляді

. (10.19)

Переріз х_кр (тут С = а = С) і параметри в цьому перерізі назвемо кри-

тичними (С_, Р_, _, Т_, _) (рис. 10.1).

Дуже важливе значення в газодинамічних дослідженнях мають безрозмірні швидкості :

– число Маха – це відношення швидкості потоку до швидкості звуку в даному газовому потоці; дає співвідношення між кінетичною і потенціальною енергією потоку;

– коефіцієнт швидкості газового потоку.

Якщо М < 1, то течія називається дозвуковою.

Якщо М > 1 – надзвукова течія газу.

Якщо М = 1 – критична течія.

Параметри потоку при числі Маха М=1 називаються критичними параметрами (Critical parameters) (C*, T*, P*, *).

Критична швидкість (Stalling speed)

. (10.20)

Критична температура

. (10.21)

Рівняння теплоємності можна записати в безрозмірному вигляді

або . (10.22)

При надзвуковій течії газу або при русі твердого тіла в газі з надзвуковою швидкістю виникають ударні хвилі або стрибки ущільнень. Швидкість при прямому стрибку падає, при цьому надзвукова швидкість до стрибка переходить у дозвукову швидкість після стрибка. Зв’язок швидкостей визначається за формулою

. (10.23)

Тиск при прямому стрибку збільшується. Відношення тисків можна виразити

. (10.24)

Швидкість витікання у вихідному перерізі сопла, що звужується, визначається за формулою

. (10.25)

Масова витрата через сопло визначається за формулою

. (10.26)

Течія газу в соплі характеризується двома безрозмірними параметрами: коефіцієнтом тиску , коефіцієнтом швидкості .

Рівняння Гюгоніо

Якщо всі кінематичні, динамічні і термодинамічні величини газового потоку є функціями тільки однієї координати і часу, то такий потік називається одновимірним.

При наближених розрахунках газових потоків в трубах в багатьох випадках можна задовольнитися спрощеною одновимірною стаціонарною схемою. Приймаючи вектор швидкостей в даному перерізі труби чи каналу направленим вздовж осі, а величини швидкості C, тиску Р, густини  і температури Т сталими по перерізу, будемо розглядати їх як величини, котрі змінюються від перерізу до перерізу каналу, причому закон зміни площини перерізу  вздовж оісі x будемо вважати заданим, тобто

. (10.27)

Візьмемо за основний аргумент прямолінійну декартову координату х, яка відраховується вздовж осі каналу вниз за потоком від деякого початкового перерізу. Потік будемо вважати адіабатним, а газ досконалим (ідеальним). При цих умовах рух газу можна вважати ізоентропійним.

Користуючись рівнянням Ейлера

(10.28)

і рівнянням безперервності

, (10.29)

легко встановити диференціальні співвідношення між змінами швидкості і площини перерізу труби. Для цього перетворимо (10.5) до вигляду

, (10.30)

де - швидкість звуку.

Візьмемо від обох частин (10.29) логарифмічний диференціал; тоді отримаємо

. (10.31)

Виключаючи за допомогою цієї рівності густину в попередньому рівнянні, знайдемо

або, поділивши обидві частини на а²,

(10.32)

Із отриманого рівняння (яке носить ім’я Гюгоніо) витікають висновки:

- якщо М  1, то знак dС протилежний знаку d; це дозвукова течія; збільшення швидкості буде відбуватись у каналі, який звужується (рис. 10.2, а);

- якщо М  1, знак dС однаковий зі знаком d, це надзвукова течія; збільшення швидкості буде відбуватись в каналі, який розширюється (рис. 10.2, б);

- якщо М = 1, то d = 0; відповідний переріз труби буде критичним;

- якщо d = 0 і переріз хкр екстремальний (максимальний чи мінімальний), то або М = 1 і, отже, цей переріз критичний (х_кр), або М  1 і dС = 0.

Длоскі надзвукові течії газу, схеми обтікання нескінченно малих кутів

Розглянемо плоску сталу надзвукову течію газу вздовж стінки ВА (рис.10.3)

а)+d – нескінчено малий випуклий кут; б) +d – нескінчено малий ввігнутий кут

Рисунок 10.3.

А_m – межа слабких або звукових збурювань, характеристика або лінія Маха, слабою хвилею.

Зліва від А_m – незбурений потік, справа збурений.

Допустимо, що на нормалі до стінки ВА швидкості не змінюються. В точці А виникає слабе збурювання потоку, обумовлене поворотом стінки на малий кут d. Це збурювання зноситься по потоку, причому деяка лінія А_m служить межею між двома областями потоку: зліва від лінії А_m розташована незбурена область течії, а справа – потік збурений поворотом в точці А. Так як в випадку, що розглядається, мова йде про слабе збурювання, то цю лінію називають межею слабих, або звукових, збурювань, слабою хвилею, характеристикою або лінію Маха. При цьому мається на увазі, що слабі збурювання розповсюджуються зі швидкістю звука.