2. Кінематика вихорових течій

   1. Основні поняття в визначення

Поняття про вихровий рух пов’язано з уявленням про обертання обмеженої маси рідини відносно деякої вісі, яка називається вихровою лінією. В зв’язку з цим вихоровий рух визначається двома параметрами – віссю і кутовою швидкістю обертання.

Як відомо, вектор кутової швидкості обертання визначається його проекціями по координатним вісям Ох, Оу, Оz:

( )

Отже, поле швидкостей буде вихровим в тому випадку, якщо хоч одна з цих проекцій не буде рівною нулю або якщо

( )

Для заданого поля швидкостей у формі рівнянь Ейлера

( )

_{це питання вирішується відповідним диференцюванням цих рівнянь.}

Вихорова лінія (вісь обертання) представляє собою лінію, до якої дотичні вектори кутової швидкості .

Ця лінія аналогічна лінії тока (рис.), а тому визначається рівнянням

( )

_{Під час вивчення вихрових рухів вводимо поняття вихрова труба, вихровий шнур і напруження вихра (інтенсивність), які аналогічні поняттям трубка тока, елементарна струминка і витрата рідини елементарної струминки.}

_{Вихровою трубкою називають трубку, яка утворена системою вихрових ліній, які проходять через елементарний замкнутий контур ( рис.), а сукупність вихрових ліній, які заключні всередині вихрової трубки, називають вихровим шнуром.}

_{Напруженням вихра називається добуток площі поперечного перерізу вихрової трубки dσ на середню величину кутової швидкості w обертання в цьому перерізі.}

Позначивши елементарне напруження вихру , можемо написати

. ( )

_{В теорії вихрового руху доказується (теореми Гельмгольца), що вихровий шнур зберігається в часі і в просторі, тобто ніде не виклинюється, і що його напруження залишається незмінним вздовж шнур.}

_{Таким чином}

. ( )

Вихровий шнур або утворює замкнене кільце, або закінчується на межах даної рідини ( ).

Варто відмітити, що вихровий рух не виникає самостійно, а в нев’язкій рідині не зникає; потенціальний рух завжди залишається потенціальним

Циркуляція швидкості і теорема Томсона

Поняття про циркуляцію швидкості введено В. Томсоном, за пропозицією якого циркуляцією швидкості по контуру називають величину, яка визначається залежністю

(___)

де V – вектор швидкості в даній точці;

 – кут, який утворюється напрямком вектора швидкості і дотичною до контуру в тій же точці;

dS – елемент контурної лінії;

А і В – межі інтегрування, які визначають собою ділянку контурної лінії, для якої обчислюється величина циркуляції.

Теорема Томсона про циркуляцію швидкості.

Розкладемо вектор швидкості V на складові u, v, w відповідно по координатним вісям:

u = Vcos;

v = Vcos;

w = Vcos

і визначимо проекції елементарного відрізку dS на тій же осі:

dx = dScos а;

dy = dS cos b;

dz = dS cos c.

Знайдемо суму .

П роводячи відповідні підстановки, одержимо

/

Враховуючи, що

і

одержимо

,

і очевидно, циркуляцію швидкості можна преставити у вигляді

(___)

Відомо, що для потенціального руху рідини

(___)

тому для потенціального руху циркуляція швидкості

(___)

а для замкнутого контура за умов однозначності 

(___)

Звідсіля витікає теорема Томсона: циркуляція швидкості за умов не вихорового руху і однозначності функції потенціалу швидкості по любому замкнутому контуру дорівнює нулю.

Теорема Стокса: ;

Теорема Томсона:

2. Циркуляція. Теорема Стокса

В ихоровим називається такий рух рідини, при якому вектор кутової швидкості відрізняється від нуля. Уяву про зовнішню структуру вихрового потоку можна отримати, якщо знайти картину вихрових ліній. вихровою називають лінію, в кожній точці котрої в дпний момент часу вектор кутової швидкості співпадає з дотичною до цієї лінії (рис. 2.1)

На основі цього диференціальне рівняння вихорових ліній записуються в аналітичному вигляді до ліній току

(2._)

Тут dx, dy, dz – проекції елемента вихрової лінії; – проекції кутової швидкості.

Аналогічно поняттю трубки тока вводиться поняття вихорової трубки. Вихрова трубка – частина рідини, яка обмежена вихровими лініями, що проходять через точки довільно замкненого контура (рис. 2._). В загальному випадку вектор кутової швидкості змінюється по поперечному перерізу вихрової трубки. Елементарною вихровою трубкою називають таку, для якої зміною кутової швидкості по поперечному перерізу можна знехтувати.

Дія вихрової трубки на навколишню рідину характеризується її інтенсивністю.

Під інтенсивністю вихрової трубки розуміють удвоєний потік вектора кутової швидкості через довільний поперечний переріз вихрової трубки. У відповідності з (2.2) інтенсивність можна трактувати як потік вектора вихра через поперечний переріз вихрової трубки.

Для вектора кутової швидкості легко встановити наступну залежність

(ІІІ.30)

в яку введено оператор Гамільтона . Розкриваючи праву частину (ІІІ.30) і враховуючи позначення для проекцій кутових швидкостей, переконуємося в справедливості даного твердження.

Позначивши через – нормаль до поперечного перерізу S вихрової трубки, згідно визначенню можемо записати наступний вираз інтенсивності

(2.3)

де розмірність інтенсивності [I] = [][S]=L² T^-1.

Інтенсивність елементарної вихрової трубки

(2.4)

Нехай S0, а , тоді 

Така ідеалізації вихрової трубки називається вихровою ниткою. вихрова нитка – типовий приклад особливої лінії, у всіх точка якої кутові швидкості  прямують до нескінченності.

Введемо фундаментальне в гідромеханіці поніття циркуляції швидкості . Вона представляє собою криволінійния інтергал по замкненому контуру L від скалярного добутку вектора швидкості на диференціал радіуса-вектора точки контура (рис. 2.2)

(2.5)

При обрахуванні циркуляції  можна брати довільний контур, в загальному випадку, який пересікає лінії течії. Якщо позначити через – проекцію швидкості на дотичну до контуру, а через dl – диференціал дуги контура, можна вираз (2.5) переписати в наступному вигляді

(2.6)

або, розкриваючи скалярний добуток

(2.7)

Згідно (2.6) розмірність циркуляції [] = [][l]=L² T^-1, тобто, що у інтенсивності є коректний доказ, що

(2.8)

Звідсіля витікає теорема Стокса: потік вектора вихра через довільну незамкнену поверхню дорівнює циркуляції швидкості по контуру, на який опирається ця поверхня.

(2.9)

Контрольні запитання

2. .

3. .

4. ..

5. .

6. .

7. .