2. Центр тяжести

Первым открытием Архимеда в механике было введение понятия центра тяжести, т.е.

доказательство того, что в любом теле есть единственная точка, в которой можно сосредоточить его вес, не нарушив равновесного состояния.

Герон и Папп приводят со ссылкой на Архимеда доказательство существования центра тяжести. Герон предваряет теорему фразой, относящейся к рассмотрению Архимедом идеализированных «физико-математических» тел (метод абстракции). Герон пишет: «Никто не отрицает, что о наклонении и отклонении в действительности говорят только о телах. Если же мы говорим о плоских или телесных (объемных) фигурах, что некоторая точка является их центром поворота и центром тяжести, то это достаточно разъяснено Архимедом». Эта фраза подтверждает, что замена тел их теоретическими моделями была в науке новшеством, введенным Архимедом.

А рхимедовы определение центра тяжести и теорему о его существовании мы приведем в пересказе Паппа.

Определение центра тяжести формулируется так: «...центром тяжести некоторого тела является некоторая расположенная внутри него точка, обладающая тем свойством, что если за нее мысленно подвесить тяжелое тело, то оно останется в покое и сохранит первоначальное положение».

Доказательство существования центра тяжести также основано на мысленном уравновешивании тела. В нем тело мысленно помещают на горизонтальную прямую, являющуюся основанием вертикальной плоскости (рис.1): «Если какое-нибудь обладающее весом тело положить на прямуюCD так, чтобы оно полностью рассекалось продолжением упомянутой плоскости, то оно может иногда занять такое положение, что будет оставаться в покое... Если затем переставить груз так, чтобы он касался прямой CD другой своей частью, то можно при поворачивании дать ему такое положение, что он, будучи отпущен, останется в покое... Если снова вообразить плоскость ABCD продолженной, то она разделит груз на две взаимно уравновешивающиеся части и пересечется с первой плоскостью... Если бы эти плоскости не пересеклись, то те же самые части были бы и уравновешивающимися и неуравновешивающимися, что нелепо».

Действительно, если бы плоскости, рассекающие груз на уравновешенные части, оказались параллельными (не пересекались), то можно было бы уравновесить тело, не поворачивая его, а только сдвинув параллельно самому себе. Это означало бы, что к одной из частей добавился бы отнятый от второй части объем, заключенный между плоскостями, что должно было бы нарушить равновесие. Путем подобных же рассуждений доказывается, что на линии пересечения плоскостей находится единственная точка, являющаяся центром тяжести.

Архимед решил ряд задач на нахождение центров тяжести различных геометрических фигур: треугольника, параллелограмма, конуса, сегмента параболы.

3. Закон рычага

Закон рычага, вероятно, был сформулирован в одном из упомянутых выше не дошедших до нас сочинений Архимеда. Причем сохранившийся в «Механике» Герона отрывок из сочинения Архимеда показывает, что в этом сочинении рассматривался случай, когда точки приложения сил расположены на окружностях разного диаметра, имеющих общую точку поворота. Это схема таких механизмов, как ворот, зубчатая передача и амфирион (разновидность ворота, состоящая из сидящих на одном валу барабанов разного диаметра). Приведя теорему, сводящую этот случай к рычагу, Герон пишет: «Это доказал Архимед в своей книге о равновесии. Отсюда ясно, что можно сдвинуть большую величину малой силой».

Но более серьезную разработку этих проблем Архимед предпринял позже в сочинении «О равновесии плоских фигур», состоящем из двух частей. В первой приводится ряд аксиом и теорем общего характера, а во второй с их помощью решается задача о нахождении центра тяжести сегмента параболы. В этой работе Архимед впервые развил аксиоматический подход к механике. Он строит свою теорию на базе геометрии путем добавления к геометрическим аксиомам нескольких «механических» аксиом.

Книга начинается так: «Сделаем следующие допущения:

Равные тяжести на равных длинах уравновешиваются, на неравных же длинах не уравновешиваются, но перевешивают тяжести на большей длине.

Если при равновесии тяжестей на каких-нибудь длинах к одной из тяжестей будет чтонибудь прибавлено, то они не будут уравновешиваться, но перевесит та тяжесть, к которой будет прибавлено».

Архимед приводит семь аксиом и на их основании доказывает ряд теорем, касающихся определения общего центра тяжести двух или нескольких фигур. Нахождение общего центра тяжести фигур сводится к их уравновешиванию на воображаемом рычаге, поскольку такое уравновешивание произойдет, если точка подвеса окажется в этом центре.

Содержание закона рычага, выведенного из аксиом, заключено в следующих двух теоремах:

«Соизмеримые величины уравновешиваются на длинах, которые будут обратно пропорциональны тяжестям».

«Если величины несоизмеримы, то они точно так же уравновешиваются на длинах, которые обратно пропорциональны этим величинам».

Разумеется, для практики, когда требуются лишь приближенные расчеты, вторая теорема не нужна. Но она имеет глубокий теоретический смысл, показывая, что закон рычага действует при любых отношениях плеч, включая и иррациональные.

Архимед не только ввел в геометрию новый класс задач (определение центров тяжести фигур), но и впервые применил при их решении «механические» методы (например, мысленное взвешивание для нахождения площадей сложных фигур).

Применив математику для изучения механического равновесия, Архимед показал, что математический подход к решению физических проблем не только помогает проникнуть в суть законов природы, но обогащает и саму математику.