2.Принцип Даламбера и его предыстория

Исходя из законов Ньютона, Эйлер превратил механику в четкую количественную теорию с эффективным аналитическим аппаратом дифференциальных уравнений движения материальных объектов. Крупным достижением первой половины XVIII в. было построение в общих чертах динамики материальной точки и динамики твердого тела. Однако главным объектом механики в период промышленного переворота был механизм, машина, состоящая из многих сочлененных звеньев. Проблема движения таких механических систем представляла значительные трудности на пути исследователей. Лагранж так характеризовал это положение: «Однако в том случае, когда исследуют движения многих тел, действующих друг на друга путем удара или давления, будь то непосредственно, как при обычном ударе, или же при посредстве нитей или несгибаемых рычагов, к которым они прикреплены, пли же вообще каким-либо иным образом, то этого рода задача принадлежит к проблемам более высокого порядка, которая не может быть разрешена с помощью приведенных выше положении. Дело в том, что в этом случае силы, действующие на тело, неизвестны, и их следует определить на основании действий, которые в тела должны оказывать одно на другое, в соответствии с их взаимным положением. Таким образом, здесь необходимо привлечь на помощь еще один принцип, который служит для определения силы тел, находящихся в движении, в соответствии с их массой и скоростью».

П отребность в новом принципе стала ощущаться уже в конце XVII в. при расчете движения физического маятника. Маятником в часах был грузик на стержне. Абстракция математического маятника (грузик на нити или на невесомом стержне) была далека «от реальности. Промежуточным звеном при переходе от схемы математического маятника к схеме физического был невесомый стержень, несущий два грузика или две материальные точки. В 1646 г. Мерсенн объявил конкурс на решение задачи о нахождении математического маятника, изохронного с данным составным (физическим). На этот вызов Мерсенна ответили Декарт, Фабри и Роберваль, высказав ряд интересных мыслей. Им не удалось все женайти окончательного решения задачи, впервые его нашел Гюйгенс в трактате «Маятниковые часы» (1673).

В предыстории принципа Даламбера более интересно решение этой задачи Я. Бернулли в работах 1686—1703 гг. Схема его рассуждений может быть передана следующим образом. Представим себе (рис. 28) два равных, точечных грузика на невесомых стержнях, образующих два математических маятника, причем длина стержня О1А меньше длины О2В (О1 и О2 — точки подвеса, А и В — точечные грузы). Если отклонить стержни на некоторый угол и предоставить им колебаться, то частота колебаний короткого маятника была бы больше частоты более длинного.

Представим себе теперь, что оба грузика А и В насажены на один и тот же невесомый стержень ОАВ. В тех же условиях в новом составном маятнике наблюдалась бы своеобразная передача движений: груз А более близкий к точке подвеса как бы ускорял колебание более далекого груза В, этот же последний как бы замедлял колебание верхнего груза А. Следовательно, рассуждал Бернулли, где-то между А и В должна существовать такая точка С, что помещенный в этом месте груз ничего не терял бы и не приобретал бы по сравнению со свободным движением (т. е. когда он был бы один насажен на стержень такой длины). Передача движений от точки А к точке В происходит, по мнению Бернулли, по закону рычага, т. е. по закону статики. Я. Бернулли называл свободными побуждениями к движению активные силы, приводящие в движение маятник. Для всех трех грузов Л, В и С это — силы тяжести (входящие в проекции на касательную к траектории). Истинными побуждениями к движению Я. Бернулли называл произведение массы грузика на его тангенциальное ускорение в составном маятнике. Потерянные (приобретенные) побуждения к движению получаются вычитанием двух вышеупомянутых побуждений к движению. Для точки А потерянное побуждение к движению равно 𝑚_𝐴𝑔𝑠𝑖𝑛𝜑(𝑙— ОА/ОС), для точки В приобретенное побуждение к движению равно 𝑚_𝐵𝑔𝑠𝑖𝑛𝜑{𝑂𝐵/𝑂𝐶— 1), здесь φ — угол отклонения стержня от вертикали, 𝑔— ускорение силы тяжести, т_А и тB — массы точечных грузов.

Принципиальным в рассуждении Бернулли является тот момент, когда он, считая уравновешенными потерянные и приобретенные побуждения к движению грузов А и В, применяет к ним закон рычага (второго рода):

𝑚_А0А(1— ОА/ОС) = 𝑚_𝐵0В(𝑂𝐵/ОС— 1)

Из последнего равенства получалась длина ОС такого математического маятника, который имел бы колебания, изохронные тем, какие имелись бы в составном маятнике ОАВ:

Это применение уравнений статики к потерянным силам Лагранж оценил очень высоко, считая его зародышем принципа, установленного позже Даламбером.

Однако Я. Бернулли не объявил этот прием обшим принципом динамики для решения задач о движении сложных механических систем, так как почвы для широкого применения такого принципа в XVII в. еще не было. В ходе промышленного переворота вполне назрел вопрос о методах решения проблем прикладного характера, которые на языке механики были задачами динамики системы. Это были те самые проблемы «более высокого порядка», по словам Лагранжа, которые рассматривали вопросы движения

многих тел, связанных нитями или стержнями, шарнирами, зубцами и пр. Без понятия внутренней силы реакции связей (оно еще не было разработано в динамике) прежний ньютонов принцип ускоряющих сил не позволял решать такие задачи, так как в каждой мгновенной конфигурации механизма силы реакции изменяли свою величину. Лагранж писал: «Однако при разрешении всякой задачи требовалась всегда особая ловкость для определения всех сил, которые в данном случае должны быть приняты во внимание. Это и придавало указанным задачам большую привлекательность и побуждало математиков к соревнованию».

Только в появившемся в 1743 г. сочинении Даламбера «Динамика» был предложен прямой и общий метод, с помощью которого можно было разрешить, или во всяком случае выразить в виде уравнений, все проблемы механики. Этот метод приводил все законы движения тел к законам их равновесия и таким образом сводил формально динамику к статике. Лагранж отмечает, что принцип, примененный Я. Бернулли при определении центра колебания, обладал тем преимуществом, что он поставил это определение в зависимость от условий равновесия рычага; однако только Даламбер подошел к этому принципу с более общей точки зрения и выявил его плодотворность.

Передадим содержание принципа Даламбера, цель которого, по словам самого Даламбера, «показать, каким образом все задачи динамики можно решать одним и при том весьма простым и прямым методом».

Пусть дана система тела A, В, С, ... и т. д. и пусть телам сообщены движения а, Ь, с, ... и т. д., которые из-за связанности тел видоизменяются в движения a₁b₁c₁ ... и т. д. Тогда сообщенные движения а, b, с, ... можно представить как геометрические суммы:

𝑎 = 𝑎₁ + 𝛼, 𝑏 = 𝑏₁ + 𝛽, 𝑐 = 𝑐₁ + 𝛾,

где 𝛼, 𝛽, 𝛾, ... и т. д. геометрические составляющие исходных движений. Движения тел A, В, С, ... будут по Даламберу такие, как если бы каждому из них вместо движений а, Ь, с, ... сообщим движения a₁b₁c₁, ..., а составляющие𝛼, 𝛽, 𝛾, ... теряются из-за связанности самих тел. «Другими словами, — говорит Даламбер,— если бы тела получили только эти движения 𝛼, 𝛽, 𝛾, ... и т. д., то эти движения взаимно уничтожились бы и тела оставались бы в покое».

Аналогичный принцип в частных случаях применяли в начале XVIII в. Я. Бернулли и его ученик Я.Герман. В решении задачи o движении физического маятника Герман использует тот же подход, что и его учитель Я. Бернулли, но в несколько видоизмененной форме.

Во второй части первой книги «Форономии» Герман занимается нахождением приведенной длины физического маятника, состоящего из двух точечных грузиков. Германа не интересуют нормальные составляющие сил, поскольку они не вызывают движения: он сосредоточил внимание на тангенциальных силах. Он постулирует эквивалентность всех тангенциальных сил в связанном движении грузиков. Фактически это означает равенство нулю разности касательной составляющей силы тяжести каждого грузика и произведений их масс на тангенциальные ускорения.

Напомним, что в 1725 г. Я. Герман прибыл в Петербург и работал в российской Академии наук до 1731 г. Эйлер высоко оценил трактат Германа «Форономия» (1716) и упомянул его в Предисловии к «Механике» (ставя это произведение в один ряд с сочинениями Ньютона и Вариньона).

В промежутке времени между моментом знакомства Эйлера с содержанием «Форономии» Германа и моментом выхода «Динамики» Даламбера Эйлер решил задачи о движении системы тел, развивая метод Германа в более четкой форме. В Комментариях Петербургской Академии наук (Т. 7. 1740) опубликована работа Эйлера «О малых колебаниях тел, как твердых, так и гибких. Новый и легкий метод». В отличие от методов своих предшественников Тэйлора, Бернулли, Эйлер пытается свести задачу 0 движении гибких тел к задаче статики. В конце §13 Эйлер утверждает эквивалентность системы приложенных сил совокупности сил, равных произведениям масс точек на их тангенциальные ускорения, рассуждая, как Герман. Но Эйлер более ясно выражает связь этого действия с соотношениями статики: §14. И так как эти подставленные силы (произведения масс точек на их тангенциальные ускорения. — И. Т.) должны быть эквивалентны силам, действующим на тело, то из статики ясно, что если вместо них взять силы, равные по величине, но прямо противоположные по направлению, то тело должно быть в равновесии... Таким образом, все исследование, касающееся колебательных движений тел, приводится к принципам статики».

Если нельзя утверждать, что этот принцип в руках Эйлера стал всеобщим, как принцип Даламбера, то следует отметить, что Эйлер решает много разнообразных задач динамики системы этим методом: находит приведенную длину физического маятника, состоящего не из двух грузов, как было у Я. Бернулли и Германа, а из четырех; находит приведенную длину произвольного физического маятника; находит период колебания шарового сегмента, лежащего выпуклой стороной на горизонтальной плоскости. Тем же методом решает он классические задачи о колебании гибкой пластинки и о колебании струны, разобранные ранее в трудах И. и Д. Бернулли и Тэйлора. Принцип Германа — Эйлера есть не что иное, как форма принципа Даламбера, найденная несколько раньше опубликования трактата Даламбера «Динамика». В работах по динамике твердого тела Эйлер также использовал свой принцип эквивалентности двух категорий сил. Даже в гидромеханике Эйлер использовал этот принцип: «Будет ли сосуд с водой находиться в покое, или же он или вода находятся в состоянии некоторого движения, все равно, реакция воды равна актуальным силам минус силы требуемые».

Эйлер определял реакцию воды на сосуд, из которого она истекала; сила реакции сосуда на элемент жидкости будет такая же, но со знаком минус. Тогда для элемента жидкости утверждается следующее: если к актуальным (активным) силам прибавить силы реакции стенок сосуда и вычесть требуемые силы (т. е. произведение массы элемента на ее ускорение), то результат равен нулю. Современная формулировка принципа Даламбера, использующая термин сил инерции, эквивалентна предложению Эйлера.

Тот же принцип использует Эйлер в «Теории движения твердых тел: «... все эти элементарные силы, взятые в совокупности (речь идет о требуемых силах.—И. Т.), являются эквивалентными действительно приложенным к данному телу силам, так как обе эти системы сил производят то же самое изменение в движении тела».

Там, где силы реакции интересуют Эйлера, он вычленяет их явно и в формулировках и в вычислениях; в последнем предложении эти силы неявно включены в совокупность всех сил, действительно приложенных к телу.

По существу принцип Германа—Эйлера в работах Эйлера обладает не меньшей общностью, чем принцип Даламбера, но он сам не провозгласил его новым общим принципом, считая его видоизменением второго закона динамики. Это сделал Лагранж, приравняв значимость обоих принципов и различая их лишь по форме: «Этот способ сведения законов динамики к законам статики в действительности является менее прямым, чем способ, вытекающий из принципа Даламбера, но зато он приводит к большей простоте в применениях; он представляет собой возврат к методу Германа и Эйлера, который применил его при разрешении многих проблем механики. В некоторых курсах механики его можно встретить под названием принципа Даламбера».

Последние слова Лагранжа свидетельствуют о том, что неясности в связи с принципом Даламбера возникли еще в XVIII в.

В динамике машин в XIX в. было выработано понятие сил инерции. Изучение так называемого центробежного эффекта, возникающего в связи с большими скоростями вращающихся деталей машин (токарные, текстильные станки, центробежные регуляторы, турбины и пр.), привело к понятию центробежной силы инерции, действующей на связи. Но так как обычно исследуют движение массивных деталей, а не тех опор, с которыми они связаны, то интуитивно переносили точку приложения силы инерции к вращающейся материальной частице. Споры о реальности или фиктивности сил инерции происходили уже в середине XIX в., примером чего может служить критика М. В. Остроградским воззрений Пуассона, отрицавшего реальное действие сил инерции в движущемся теле.

Французский ученый Ш. Делоне в «Трактате рациональной механики» (1856) дал такую трактовку принципа Даламбера, которая приводится во многих современных учебниках теоретической механики: в каждый момент времени имеет место динамическое равновесие приложенных к материальной точке, принадлежащей данной системе, активных сил, сил реакции внешних и внутренних связей и силы инерции точки. Последняя сила фиктивна и равна произведению массы точки на ее ускорение, взятое с минусом. Принцип Даламбера сводит задачу динамики системы к задаче о равновесии сил.

В векторной форме условие равновесия всех перечисленных сил принимает следующий вид:

где F — главный вектор активных сил, R — главный вектор реакций связей, — главный вектор сил инерции. Очевидно, записанное равенство эквивалентно принципу ускоряющих сил в сочетании с принципом освобождаемости от связей:

.

Таким образом, метод кинетостатики, идею которого высказал Даламбер, не содержит чего-либо принципиально нового по сравнению с принципом ускоряющих сил. Однако в задачах с непоступательным движением механических систем, где нужно определять динамические реакции опор, метод кинетостатики имеет значительные преимущества. Допустим, речь идет о вращении однородного маховика вокруг оси, -не проходящей через его центр масс. Составляя у равнения кинетостатики в этой задаче для определения динамических реакций опор, можно не заботиться о выборе осей координат. Выбранные оси могут быть подвижными, что .представляло бы неудобство для применения общих теорем динамики.

Это не единственное преимущество для инженеров метода кинетостатики по сравнению с другими динамическими методами. Ценным качеством метода 'кинетостатики является единообразие в действиях как в статике, так и в динамике. Эти действия формально сводятся к записи уравнений равновесия всех сил, включая и силы инерции, приложенных к системе или выделенной ее части.

Даже некоторые учебные курсы и пособия, отказывающие принципу Даламбера в эффективности и считающие его архаичным, вынуждены признать широкое распространение этого метода в инженерной практике. Принцип Даламбера и метод кинетостатики был вызван к жизни запросами промышленного переворота и до сих пор продолжает играть существенную роль в динамике машин и механизмов.