5.Изучение упругих свойств материалов

Древние строители Египта, Греции и Рима владели некоторыми эмпирическими правилами, по которым выбирались надежные размеры сооружений, монументов, мостов; иными словами, они располагали элементарными сведениями о прочности материалов. Есть мнение, что эти ценные сведения и опыт строительного искусства древних был в значительной мере утерян на протяжении средних веков. С. П. Тимошенко приводит примеры того, как инженеры эпохи Возрождения вновь приобретали навыки воздвижения обелисков, специально изучая образцы египетских обелисков. Без каких-либо теоретических подходов и расчетов люди с давних пор умели пользоваться упругими свойствами дерева» веревок, сухожилий животных (лук, стрелы, рессоры, пружины).

Первым серьезным научным трудом в области сопротивления материалов справедливо считается трактат Галилея «Беседы и математические доказательства...» (значительная часть первого и второго «дней» этого сочинения). Галилей отмечает, что проблема прочности материалов не была для него чисто лабораторной: многими ценными наблюдениями он обязан своему общению с мастерами венецианского арсенала. Ученый ставит вопрос: увеличивается ли прочность геометрически подобных сооружений при увеличении их размеров, и он отвечает на этот вопрос отрицательно. В результате многократно поставленных экспериментов на растяжение и изгиб бруса Галилей получает некоторые количественные зависимости сопротивления растяжению и изгибу от ширины и толщины бруса.

В работе Гука «О восстановительной способности, или об упругости, объясняющей силу упругих тел» (1678) на основе тонких и многократно проведенных опытов с пружинами и изгибающимися консолями сформулирован важный количественный закон о том, что сила и способность всякого упругого тела восстанавливать свое естественное состояние пропорциональны той мере, на которую оно выведено из этого естественного состояния, совершено ли это путем разряжения, отделения его частей одна от другой или же путем сгущения (уплотнения) этих частей. Это свойство Гук приписывает всем материалам, перечисляя металлы,дерево, камни, ткани, волос, рог, мышцы, стекло и пр. Эту закономерность подтвердил Э. Мариотт, занимавшийся экспериментальным изучением упругих свойств материалов в связи с проектированием водопровода для Версальского дворца в конце XVII в. Мариотт и Гук считали, что закон пропорциональности деформации нагрузке справедлив до момента разрушения материала.

Промышленный переворот в развитых странах Европы в XVIII в. выдвинул ряд новых проблем строительной техники, конструирования машин, двигателей, строительства мостов, каналов, шлюзов, фабричных и складских помещений. Усиливается потребность в специальном образовании инженеров по проектированию сооружений, дорог и мостов. Специальные дисциплины и курсы преподаются в Школе мостов и дорог (Франция), в Парижской Политехнической школе и других специальных учебных заведениях Европы. Экспериментально исследуют упругие свойства материалов ученые многих европейских стран: А. Паран, Ш. Кулон, Б. Белидор, Ж. Бюффон, П. Мушенбрук, Р. Реомюр» Ж. Ламбларди, П. Жирар и другие.

В книгах ученых XVIII в. уже можно найти сводные эмпирические данные в виде таблиц разрушающих нагрузок для наиболее употребительных материалов. Так постепенно формируется понятие предела прочности. Представление о пределе прочности можно встретить в работе С. К. Котельникова «Книга, содержащая в себе учение о равновесии и движении тел» (1774). Котельников называет предел прочности материала «особенной крепостью» и дает правило его определения посредством отношения наибольшей величины нагрузки на стержень, разрывающей его, к площади поперечного сечения стержня. Таким же способом Котельников определял «особенную крепость в переломе», т. е. при изгибе стержня.

В трудах ученых XVIII в., проводивших экспериментальное исследование упругих свойств материалов при растяжении, поперечном, продольном изгибе и закручивании стержней или проволоки, появлялись количественные зависимости максимальных нагрузок от размеров испытываемого тела и его физических характеристик. Однако в этих работах еще не было введено понятие модуля упругости, пределов текучести и пропорциональности напряжения деформации. Тем не менее для строителей XVIII в. механика могла дать некоторые критерии прочности различных видов строительных материалов. В большинстве инженерных руководств описывались и применялись два подхода к изучению прочности материалов: метод Галилея (определение максимальной величины растягивающего усилия, при достижении которой происходит разрушение материала) и метод Мариотта (определение наибольшего удлинения, при достижений которого наступает разрушение).

В теории изгиба широкое применение получила формула Вариньона, заново выведенная Бильфингером в 1729 г. Формула устанавливала зависимость для наибольшей силы от закона ее распределения по сечению изгибаемой балки. Теоретический подход Ш. Кулона к проблеме изгиба балок в третьей четверти XVIII в. содержал весьма ценные подходы, а именно он разлагал усилия, действующие в поперечном сечении балки, на нормальные и касательные к сечению. Не менее полезной оказалась в дальнейшем идея Кулона связывать процесс разрушения сжатых стержней со сдвигом слоев материала.

Серия работ XVIII в. по теории изгиба балок и стержней не была непосредственно связана с запросами строительной техники этого времени, скорее это были изыскания физических приложений математического анализа и дифференциального и интегрального исчисления. Определение формы упругой линии и вычисление величины прогиба изогнутой балки точными аналитическими методами находим в это время в трудах И. и Д. Бернулли, Эйлера, Лагранжа. В ранних работах Эйлера (1740-е годы) при рассмотрении равновесия изогнутой консоли (упругого стержня, закрепленного в одном конце) применялся метод мысленного рассечения стержня. При расчете силы, которую нужно приложить в срезанном сечении для того, чтобы оставшийся элемент сохранил свою прежнюю форму, Эйлер кроме нормальной составляющей силы ввел еще и касательную составляющую этой силы, поперечную по отношению к оси стержня. Затем Эйлер вывел формулу для величины критической нагрузки при продольном изгибе:

,

где l— длина стержня, Ek²— его жесткость, Р— величина критической нагрузки при продольном изгибе. Формула Эйлера позже была подтверждена исследованиями Лагранжа по теории продольного изгиба колонн. Однако теория опережала инженерную мысль и экспериментальные исследования более чем на столетие. В середине XIX в. инженеры, не получив опытного подтверждения этой формулы из-за неточности эксперимента, игнорировали строгую теорию продольного изгиба Эйлера — Лагранжа. Только после нескольких катастроф на железнодорожных мостах в конце XIX в. были проведены более точные эксперименты по продольному изгибу стержней, подтвердившие правильность теории и формулы Эйлера.

Исследуя точное дифференциальное уравнение изогнутой оси упругого стержня, Эйлер классифицировал упругие кривые на девять видов. При более детальном исследовании величины «жесткости стержня» Эйлер пришел к результату, что она пропорциональна ширине сечения стержня и квадрату (а не кубу, как выяснилось позже) его высоты; коэффициентом пропорциональности у Эйлера была некоторая физическая характеристика природы вещества стержня. Продолжая исследования Эйлера по продольному изгибу балок или колонн, Лагранж нашел величины критических сил, когда изгиб оси стержня происходит по двум, трем и большему числу полуволн синусоиды. Он же изучил зависимость стрелы прогиба от величины нагрузки, превышающей критическое значение.

Важной проблемой, связанной с изучением гибкости тел, была проблема колебательного движения струны и мембраны, рассматриваемая в XVIII в. в трудах Д.

Бернулли, Даламбера, Эйлера и Лагранжа. Д. Бернулли, исходя из предположения о бесконечной малости колебаний струны, ввел допущение о пропорциональности восстанавливающей силы отклонению от положения равновесия. В середине XVIII в. Д. Бернулли высказал важное в теории колебаний положение о суперпозиции простых гармонических колебаний системы, хотя термин этот был введен позже. Плодотворной идеей Д. Бернулли о замене упругой непрерывной нити множеством отдельных материальных точек, нанизанных на нематериальную нить, воспользовались Эйлер и Лагранж для продолжения исследования проблемы колебания струны.

Особенно широко известно решение Даламбером задачи о колебании струны. Применив свой принцип сведения условий движения системы точек к уравнениям равновесия некоторых категорий сил, Даламбер пришел к дифференциальному уравнению поперечных колебаний однородной струны в виде

Фактически это было уравнение в частных производных, хотя символов частных производных еще не было. Уравнение, записанное Даламбером, получило название одномерного волнового уравнения, постоянная а имеет смысл скорости распространения волны, y — поперечное отклонение некоторого сечения от положения равновесия.

Даламбер указал решение волнового уравнения в виде суммы двух произвольных функций: , которое после использования граничных условия обращения в нуль координаты у на концах струны, т. е. при x=0 и х=l (для любых значений t) принимает вид

где φ — произвольная периодическая функция с периодом 2l.

Через год Эйлер установил связь произвольной функции, входящей в общий интеграл уравнения колебания струны, с начальной формой струны и начальным распределением скоростей в ее точках. Между Даламбером и Эйлером возникла дискуссия о природе произвольных функций, входящих в интегралы уравнений с частными производными. Даламбер вкладывал в понятие произвольной функции следующее содержание: функция имеет произвольное аналитическое выражение (в его случае это была нечетная периодическая функция). Эйлер имел в виду, что произвольная функция может быть произвольно начерчена безотрывочным движением руки. Он считал, что это шире, чем произвольное аналитическое выражение.

Казалось бы, решение Д. Бернулли, представленное бесконечным тригонометрическим рядом с неопределенными коэффициентами, могло примирить обе точки зрения: подобно тому как звук, издаваемый струной, слагается из основного тона и бесконечного множества обертонов, любая функция и, следовательно, кривая может быть составлена из множества дуг синусоид, как бы деформированных с помощью коэффициентов, о которых шла речь. Однако Даламбер и Эйлер не приняли это мнение.

Возражения Эйлера сводились к тому, что кривая, которую он рисует, может пойти произвольно, в то время как ряд Бернулли, составленный из бесконечной суммы тригонометрических функций (произведение синуса, содержащего под своим знаком абсциссу, на косинус от величины, кратной времени), не допускает произвола, в частности, он представляет нечетную периодическую функцию. Тем самым высказывалось сомнение в том, может ли тригонометрический ряд представлять любую функцию.

В спор вступил молодой Лагранж, подобно арбитру ответивший на вопросы спорящих и примиривший их взгляды. Лагранж ответил утвердительно на вопрос Даламбера о возможности представления тригонометрическим рядом любой функции, заданной аналитическим выражением. Подробный анализ этого положения позже (примерно через полстолетия) дал ученик Лагранжа Фурье. В то же время, найдя решение проблемы тем же путем, что и Д. Бернулли, Лагранж вместо неопределенных коэффициентов тригонометрического ряда, представляющего решение, записал некоторые функции, выражающие зависимость этих коэффициентов от начального состояния струны (начальной координаты и начальной скорости частицы). Тем самым он усовершенствовал метод Бернулли и обосновал правильность построения Эйлера в решении проблемы.

Из изложенного видно, что предмет спора выходил за рамки физики или механики; этот спор проливает свет на тесную взаимосвязь развития всех точных наук, на истоки развития новых эффективных математических методов, таких, как теория уравнений математической физики и теория функций. Эйлер и Лагранж исследовали в 1760х годах колебания мембран, найдя решения волнового уравнения для двумерного движения (Лагранж распространил эту задачу для исследования колебаний в трехмерном пространстве).

В начале XIX в., когда промышленный переворот завершился внедрением машин в большинство процессов производства, механика деформируемого твердого тела имела некоторые достижения» намечавшие общие подходы к изучению равновесия и движения упругих систем. Были созданы простейшие теории поперечного изгиба и кручения стержней, намечены исходные этапы точной теории продольного изгиба стержней, создана математическая теория колебания стержней (струны) и мембран, введены количественные характеристики типа модуля упругости (Эйлером в теории продольного изгиба), выработаны представления не только о нормальных, но также и касательных напряжениях (в работах Парана, Эйлера, Кулона).

Существенно новый подход к проблемам теории упругости мы встречаем в работах XIX в., в которых разработана общая теория напряжений. Инженерная практика XIX в. нуждалась в точной математической теории, позволяющей исследовать отдельные конкретные задачи о равновесии и движении упругих систем. Одной из актуальнейших областей техники этого времени было строительство железнодорожных трасс и необходимых для них мостов. В мостостроении началось применение металла (в особенности чугуна) вместо камня.

Анри Навье (1785—1836)—выпускник Школы мостов и дорог, инженер и ученый, в кругу занятий которого были, в частности, и расчеты напряжений в цепях висячих мостов, создание руководства для инженеров-строителей и машиностроителей, начал исследовать действительную работу сооружения под нагрузкой, рассматривая не только предельные (разрушающие) усилия, а упругое рабочее состояние материала.

За годы инженерной деятельности, научно-экспериментальной работы и преподавания прикладной механики в Парижской Политехнической школе Навье провел интересные исследования по изгибу призматических брусьев и пластин. Он ввел понятие модуля упругости как отношение нагрузки, приходящейся на единицу площади поперечного сечения, к произведенному ею относительному удлинению. Он экспериментально определил модуль упругости железа, проводя опыты во время участия в строительстве моста Инвалидов в Париже.

В 1821 г. Навье представил Парижской Академии наук «Мемуар о законах равновесия и движения твердых и упругих тел», в котором были выведены общие уравнения равновесия и движения изотропного упругого тела (в смещениях). Вывод был основан на молекулярной теории строения вещества Лапласа, Пуассона, берущей свои истоки в воззрениях Ньютона — Бошковича. Упругое тело считали состоящим из молекул, взаимодействующих силами притяжения и отталкивания. В естественном состоянии эти противоположные силы уравновешиваются; с уменьшением расстояний между молекулами преобладают силы отталкивания между ними, чем и объясняется свойство упругости. Исходя из этих представлений Навье вывел дифференциальные уравнения равновесия и движения упругого тела, содержащие одну постоянную, зависящую от упругих свойств материала.

Развивая исследования Навье (результаты этих исследований были опубликованы лишь в 1827 г.), появились работы других видных ученых, направленные к построению общей теории упругости. Одним из рецензентов Навье в его теоретических изысканиях 1820 г. был О. Коши (1789—1857). Высказав несколько критических замечаний о методах рассуждений Навье, Коши в 1822 г. опубликовал краткий мемуар — «Исследование равновесия и внутреннего движения твердых тел и жидкостей, упругих и неупругих».

В 1827 г. Коши опубликовал две статьи, в которых давал развернутую математическую разработку общих соображений, высказанных им в 1822 г. В первой1 из этих статей Коши вводит шесть компонент тензора деформаций, которые встречались уже в гидромеханике Эйлера и Лагранжа. Однако Коши выражает компоненты тензора деформаций через производные от трех проекций вектора смещения для произвольной деформируемой среды. Коши находит выражения для удлинения любого линейного элемента и вводит главные удлинения по трем взаимно перпендикулярным направлениям главных осей деформации. Во второй из названных статей Коши изучает тензор напряжений. Терминов «вектор» и «тензор» у Коши, естественно, нет: векторное и тензорное исчисления были созданы позже, имея своими исходными пунктами конкретные работы по механике и физике, где новые понятия, символы и термины вырабатывались в качестве адекватного математического языка.

Понятие напряжения вводится Коши как давление на некоторой площадке, являющееся результирующим трех давлений по трем проекциям выбранной площадки на три координатные плоскости, проходящие через центр тяжести площадки. Подобно Эйлеру Коши рассматривает условие равновесия сил давлений на гранях элементарного, мысленно выделенного из общего объема среды, тетраэдра. Таким способом Коши получает общие уравнения равновесия сплошной среды в напряжениях. Он устанавливает свойство взаимности напряжений: давления на двух пересекающихся площадках с общим центром и одинаковой площадью обладают тем свойством, что проекция одного из них на нормаль ко второй площадке равна проекции второго давления на нормаль к первой площадке. Фактически Коши пришел к понятию эллипсоида напряжений, введя понятие главных осей напряжений и рассмотрев изменение напряжения на площадке в зависимости от изменения ее ориентации вокруг центра площадки. Коши вывел также и эллипсоид деформаций, указав свойства его главных осей.

В третьей фундаментальной работе (1828) Коши выводит классические уравнения динамики изотропного (термин Коши) упругого тела в перемещениях, первая строка которых в обозначениях Ламе имеет вид:

Коши пришел к этим уравнениям, исходя из двух допущений. Для изотропного упругого тела направления главных осей деформации совпадают с направлением главных осей напряжений (в качестве обоснования делается ссылка на симметричность распределения деформации и напряжений относительно главных осей). Второе допущение сводилось к следующему: главные напряжения выражаются суммой соответствующего главного удлинения и объемного расширения, умноженного на вторую упругую постоянную. Общие уравнения теории упругости Коши содержали две упругих постоянных. В споре ученых о числе упругих постоянных изотропного упругого тела (Навье, Пуассон, Коши, Ламе, Грин и др.) выяснились физические основы теории упругости.

В результате общих усилий ученых в начале XIX в. была создана общая теория напряжений и выработан континуальный подход вместо феноменологического подхода, основанного на представлении о молекулярном строении материи. Главной идеей построения механики сплошной среды (гипотеза сплошности), идущей от Эйлера, Клеро, Лагранжа, была операция мысленного выделения из среды элементарного объема той или иной формы и замена воздействия на его поверхность внешней среды (мысленно отброшенной) некоторым равносильным полем векторов напряжения, определенным по поверхности элемента. Этот метод нашел свое математическое оформление в общем виде для произвольной сплошной среды в вышеизложенных работах Коши.

Изучением напряженного состояния анизотропного тела в этот период занимались Навье, Пуассон, Коши и другие в рамках молекулярной теории. Работавшие в России два молодых французских инженера — Г. Ламе и Э. Клапейрон — выполнили исследование, опубликованное только через пять лет в Париже (1833), в котором получен ряд результатов о распределении напряжений и разработаны приложения общих уравнений теории упругости к решению некоторых конкретных задач.

В 1830-х годах английский ученый Дж. Грин, рассматривая в работах по оптике эфир как некоторую упругую среду, применял принцип сохранения энергии или принцип равенства элементарной работы внутренних сил полному дифференциалу некоторой однородной функции второй степени шести компонент деформаций. В самом общем случае эта функция зависит от 21 постоянной; для изотропной среды число постоянных уменьшается до двух. Более подробный анализ проблемы с привлечением термодинамических и других свойств материалов дали в середине XIX в. В. Томсон (Кельвин) и Г. Кирхгоф.

Воззрения физиков этой эпохи на явление распространения света как на волновой процесс в упругом эфире привлекли внимание механиков к задаче о распространении волн в упругой среде.

В теории колебаний упругой среды первые результаты принадлежат М. В. Остроградскому и Д. Пуассону. Несколько ранее Пуассона Остроградский (1829—1832) рассмотрел малые колебания изотропной упругой среды при заданных начальных возмущениях. Он изучил распространение колебаний от первоначально возмущенной ограниченной части упругой среды. При этом Остроградский четко различает два типа волн, распространяющихся с различными скоростями в упругой среде. Наличие двух типов упругих волн в те же годы было обнаружено Пуассоном (1831). Впоследствии в 1849 г. Дж. Стоке описал подробнее характер этих волн: это волны объемного расширения и волны сдвига.

Чрезвычайно важным вкладом в разработку общих методов аналитической теории упругости был полуобратный метод решения задач теории упругости, предложенный в 1853 г. Б. Сен-Венаном (1797—1886). Согласно этому методу задаются лишь некоторые компоненты смещений и напряжений, а недостающие компоненты определяются уравнениями теории упругости. Исходя из решений элементарной теории сопротивления материалов таким методом можно прийти к строгим решениям, представляющим практический интерес. Этот метод Сен-Венан продемонстрировал при решении задачи о кручении и изгибе призматических стержней различных поперечных сечений. После работ Сен-Венана теория упругости находит широкое применение в технике второй половины XIX

в. Элементы теории упругости включают в программы обучения широкого круга инженеров.

При решении разнообразных прикладных и физических задач, связанных с теорией упругости и теорией сопротивления материалов ученые и инженеры второй половины XIX в. проявляли большое искусство, сочетая строгую теорию и приближенные подходы к проблемам с элементарными математическими приемами теории сопротивления материалов, широко опирающимися на экспериментальный материал. Подробный анализ всех практически интересных решений отдельных задач можно найти в специальной литературе; здесь же ограничимся кратким обзором главных проблем и методов их решений.

Ученик и последователь Остроградского — Д. И. Журавский, получивший сильную математическую подготовку и тесно связанный в своей деятельности со строительной техникой, пришел к правильному заключению о необходимости детального анализа действия касательных напряжений в изогнутой балке. В существовавшей литературе не было указаний по этому вопросу, и Журавский сам решил эту задачу. Постепенно усложняя случаи закрепления и нагружения консоли, затем балки на двух опорах, он вывел формулы для расчета касательных напряжений в различных сечениях балки. Сен-Венан высоко оценил метод Журавского. Этот метод вскоре вошел в учебники по сопротивлению материалов. Журавский разработал также эффективный метод расчета мостовых ферм, примененный при постройке первой в России железной дороги Петербург — Москва.

Методы расчета статически определимых ферм заняли значительное место в развитии строительной механики: графический метод расчета ферм совершенствовался в работах Шведлера, Кульмана, Риттера, Кремоны и других.

Важным разделом строительной механики является расчет устойчивости сжатых колонн и стержней. Исследования в этой области в XVIII в. (Эйлера, Лагранжа) не получили практической разработки и признания из-за неудовлетворительно поставленных опытов, дававших плохое согласование теории с данными опытов. В середине XIX в. большое распространение получили эмпирические формулы (Ходкинсона, Гордона и др.). Участившиеся в конце XIX в. аварии открытых мостов, не имевших верхних горизонтальных связей, заставили задуматься ученых и инженеров над проблемой устойчивости упругих систем. Вновь проведенные тщательные эксперименты Баушингера, Тетмайера, Консидера дали материал для составления таблицы критических напряжений сжатия стержней для различных гибкостей.

В XX в. не только теория сопротивления материалов, строительная механика, но и теория упругости все шире входят в программу подготовки квалифицированных инженеров, так как трудно назвать отрасль промышленности или техники, в которой расчеты на прочность не имели бы первостепенного значения.