4 Прикладная механика

Круг проблем прикладной механики более четко определялся в XX в., когда в высших учебных заведениях начали организовываться кафедры прикладной механики. Главное внимание специалистов по прикладной механике в первой половине XX в. было обращено либо к теории механизмов и машин, либо к теории гироскопов.

Теория механизмов и машин изучает строение, кинематику и динамику машин. Термин «машина» в механике и в особенности в истории механики имел неоднозначный смысл. Машины или так называемые «простые машины» до XVIII в. означали приспособления для подъема тяжестей или перемещений грузов по поверхности (грунт, настил, наклонная плоскость и т. п.). В мануфактурном периоде развития промышленности встречаются машины, занимающие как бы промежуточное положение между «простыми машинами» и современными машинами, обладающими тремя составными частями: более или менее сложный исполнительный механизм, передаточный механизм и двигатель. После завершения промышленного переворота в большинстве европейских стран развитие механики и ее специальных отраслей связано с запросами машинного производства, объектом исследования является машина в современном значении этого термина. «Простые машины» (полиспасты, вороты, рычаги и пр.) фигурируют только как иллюстрации или примеры для подготовки учащихся (например, машина Атвуда). В дальнейшем мы будем использовать термин «машина» в смысле сочетания нескольких «простых машин» или сложной механической системы со связями, что не обязательно предполагает весь комплекс главных частей современной машины.

Возникновение механики машин в конце XVIII в. связано с работами Л. Эйлера, Л. Карно, Г. Монжа. Исследованием трения несмазанных деталей машин в это время занимались Г. Амонтон, Б. Белидор, Л. Эйлер, Ш. Кулон, Р. Прони.

В Парижской Политехнической школе разработкой кинематики механизмов занимались Ж. Ашетт, А. Бетанкур, X. Ланц. В «Курсе построения машин» (1808) Бетанкура и Ланца быласделана попытка систематизации машин (21 группа) по типу выполняемого преобразования движения (например прямолинейное в круговое).

Развитие элементов динамики машин мы находим уже в курсах Ж. Кристиана, Г. Кориолиса, В. Понселе, хотя значительное внимание в систематически изложенных курсах механики посвящено разработке и выделению теорем кинематики из учения о движении тел. Наиболее четкую программу выделения кинематики из целостного учения о движении материальных объектов наметил Ампер в работе «Опыт по философии наук» (1834): «Трактат и рассмотрение всех движений независимо от сил, которые их вызывают, был бы крайне полезен для инструкции, которую можно предложить в конструировании различных машин. Этой-то науке, в которой движения должны быть исследованы сами по себе, как мы их замечаем в телах, нас окружающих, и особенно в машинах, я даю название Cinemathique (кинематика)...».

В курсах прикладной механики Понселе, которые он читал и часто переиздавал, начиная с 1830 г., содержится отдельная кинематическая часть. Мгновенная скорость движения точки определяется Понселе как предел средней скорости при стремлении интервала времени движения к нулю. Тангенциальное ускорение определяется Понселе как тангенс угла касательной к графику зависимости скорости от времени с осью абсцисс (в данный момент). Понселе рассматривал различные способы задания движения, сложение движений и скоростей, передачу движений в различных механизмах.

Наиболее строгую и полную теорию относительного движения материальной точки дал Г. Кориолис в «Мемуаре об уравнениях относительного движения систем тел»— (1835). Он строго вывел теорему, носящую теперь его имя, о сложении переносного, относительного и добавочного ускорения в сложном движении точки. Правда теорема выведена не в терминах ускорений, а в терминах сил, так как всюду фигурируют произведения массы точки на соответствующее ускорение.

Понселе и Кориолис ввели понятие работы сил на элементарном перемещении точки ее приложения и разработали энергетические принципы индустриальной механики (т. е.

принципы сравнения затраченной и полезной работы машины).

Разработка понятий кинематики механизмов проводится и в Англии. В 1841 г. Р. Виллис в сочинении «Принципы механизмов» уточняет понятие механизма, вводит новый принцип классификации механизмов, предлагает расчет зубчатой передачи и пр. Однако следует отметить описательный характер большинства таких сочинений по кинематике первой половины XIX в. В них велись изыскания общих методов классификации и исследования действия механизмов. Во Франции это направление привело к созданию кинематической геометрии3 в работах Ф. Савари, Т. Оливье, М. Шаля, А. Маннгейма, С. Аронгольда и Л. Бурместера.

Инженерная механика в Австрии и Германии в середине XIX в. развивалась по иному пути; детали машин изучались здесь как реальные физические тела, расчет действия машин производился с учетом расширения и сжатия их частей или заполняющего полости газа, с учетом вязкости жидкости, протекающей по трубам или обтекающей лопатки машин. Механика и теория механизмов затрагивались вперемежку с элементами теории сопротивления материалов, теории теплоты и пр. Примером такого энциклопедического руководства может служить многотомная «Теоретическая и практическая механика» Ю. Вейсбаха (1850-е годы) или его же «Курс инженерной техники машин». В работах и курсах Вейсбаха, Ф. Редтенбахера, И. Радингера и других создавался раздел науки, получивший позже название «деталей машин».

Фундаментальное значение для теории механизмов имели труды П. Л. Чебышева в середине XIX в. Чебышева, в частности, заинтересовала проблема параллелограмма Уатта — преобразование прямолинейного возвратно-поступательного движения штока, жестко связанного с поршнем паровой машины, в качательное движение конца балансира. Уатт экспериментально нашел звено некоторой длины, один конец которого движется по дуге окружности, другой — по отрезку почти прямой линии (с достаточной степенью приближения). Неизбежные неточности прямолинейного хода шатуна в направляющих приводят к потерям на трение и быстрому изнашиванию частей машины. Чебышев отмечает, что при изменении формы этого механизма потребовались бы новые правила расчетов его звеньев. На пути построения теории конструирования механизмов, преобразующих одно движение в другое с необходимой степенью точности, Чебышев пришел к созданию нового раздела математического анализа: теории функций, наименее уклоняющихся от нуля. Этой проблеме посвящены работы Чебышева «Теория механизмов, известных под названием параллелограммов» (1854), «О функциях, наименее уклоняющихся от нуля» (1873) и др.

Задача в постановке Чебышева сводилась к нахождению искомых параметров механизма таким образом, чтобы на некотором заданном отрезке максимальное отклонение траектории точки от ее касательной в средней точке отрезка наименее уклонялось от нуля по сравнению с другими сравнимыми траекториями. Ученый разработал приложение созданной им математической теории к конструированию механизмов, некоторые точки которых описывают траектории, мало отличающиеся от заданных (в рассмотренных им задачах это — прямая и окружность). В работе Чебышева «О параллелограммах» (1869) рассматриваются проблемы структуры механизмов. Здесь впервые выведена структурная формула для плоских механизмов: 3𝑚— 2(𝑛 + 𝑣) = 1, где m — число подвижных звеньев, n — число подвижных шарниров и v— число неподвижных шарниров. В формуле выражено требование, чтобы механизм обладал одной степенью свободы. Через 14 лет эта формула была заново выведена Грюблером.

Первым направлением творческой разработки идей Чебышева была серия исследований в школе метрического синтеза механизмов.

Второе направление исследований Чебышева по теории механизмов, имевших также плодотворное развитие в XX в., — это задачи динамического синтеза. Наиболее интересная проблематика этой области — задача о центробежном регуляторе. Со времен Уатта центробежные регуляторы страдали недостатком изохронности. В 1871 г. Чебышев ставит задачу построения приближенноизохронного регулятора (с наименьшим отклонением от регулярного режима). Решение этой задачи Чебышева послужило отправной точкой работ в трех прикладных областях.

Метод оптимизации Чебышева при рассмотрении некоторой среднеквадратичной динамической характеристики, зависящей от геометрических параметров механизма, применяется в настоящее время конструкторами при динамическом уравновешивании коленного вала двигателей внутреннего сгорания (от тракторов до самолетов).

В начале XX в. внимание специалистов теории механизмов переключилось главным образом на вопросы динамики механизмов. Еще в конце XIX в. возникли некоторые графические методы динамики, аналогичные приемам графостатики. Н. Е. Жуковский разработал метод кинетостатики, формально сводящий динамическую задачу о кинематической цепи к задаче о равновесии рычага.

К концу второго десятилетия XX в. теория механизмов вполне сложилась как специальная механическая дисциплина, выработавшая свой круг проблем, свои методы. В рамках этой новой дисциплины была создана четкая система структуры и классификации плоских механизмов; известную самостоятельность получила кинематическая геометрия; графические методы кинетостатики и динамики машин образовали еще одно направление этой науки. Находились в стадии становления более специфические области: теория регулирования машин, проблемы синтеза механизмов, теория машин-орудий и др.

Вторым важным аспектом прикладной механики была теории гироскопов, тесно связанная с теорией вращения твердого тела вокруг неподвижной точки. Техническими и физическими истоками этой теории были, прежде всего астрономические задачи (движение Луны, Земли и других небесных тел), проблема движения корабля при качке, задача о движении продолговатого артиллерийского снаряда, а с конца XIX в. — проблемы расчета движения гироскопических приборов.

В 1749 г. вышел в свет мемуар Даламбера «Исследование о предварении равноденствий и о нутации Земли». Даламбер выявил и наметил теоретический путь исследования нутации Земли и полного объяснения известного со времен Гиппарха явления предварения равноденствий (прецессионным движением Земли). В семи мемуарах с 1749 по 1760 г. Эйлер разработал основные вопросы кинематики твердого тела, дал подробную теорию распределения масс в твердом теле (теория моментов инерции), вывел различные формы дифференциальных уравнений движения твердого тела и дал разбор случая полной интегрируемости этих уравнений. Эйлер много занимался астрономическими задачами и разработал приложения динамики твердого тела к задаче о предварении равноденствий.

Интегрируемый случай дифференциальных уравнений вращательного движения твердого тела, получивший наименование случая Эйлера (а в XIX в. — Эйлера — Пуансо), характеризуется равенством нулю моментов внешних сил относительно неподвижной точки твердого тела (центра масс).

В 1834 г. Л. Пуансо дал геометрическую интерпретацию этого случая движения твердого тела; он ввел важное для динамики понятие эллипсоида инерции твердого тела; затем он показал, что в названном случае движение твердого тела может быть представлено качением без скольжения эллипсоида инерции тела по некоторой неподвижной плоскости. Пуансо ввел понятия полодии и герполодии, провел геометрическое исследование случаев устойчивости вращения твердого тела вокруг главных осей эллипсоида инерции.

Лагранж исследовал вращение твердого тела некоторой формы около неподвижной точки в 1773 г., рассмотрев и усовершенствовав решение Эйлера задачи о вращении тела без действия внешних сил. Однако до конца жизни он не успел закончить работу. Доработку рукописей Лагранжа по этому вопросу провел Ж. Бинэ, который часть фрагментов включил во второе издание сочинения, а более отрывочныезаписи Лагранжа опубликовал в конце второго тома под названием «Из черновых записей Лагранжа».

Этот материал сводится к следующему. Лагранж вводит понятие мгновенной оси вращения твердого тела около неподвижной точки, опираясь на обоснование примененного им подхода, детально разработанного ранее. Далее заново выводятся кинематические уравнения Эйлера вращения твердого тела в дифференциальной форме. Затем заново выводятся динамические уравнения Эйлера, исходя из той формы дифференциальных уравнений движения системы, которые теперь называют «уравнениями Лагранжа второго рода».

Лагранж подчеркивает, что свободные оси в твердом теле открыл Эйлер и наиболее изящная и удобная во многих случаях форма дифференциальных уравнений движения впервые выведена Эйлером. Существенно новым достижением Лагранжа в этой проблеме была постановка задачи о движении твердого тела, получившая в дальнейшем наименование «случая Лагранжа»: когда точка опоры или подвеса не совпадает с центром тяжести тела.

Следующий, существенный шаг в развитии динамики твердого тела сделала С. В. Ковалевская. В 1888 г. из 15 исследований, представленных на конкурс Парижской Академии наук о вращении твердого тела около неподвижной точки, премия Бордена была присуждена работе под девизом: «Говори, что знаешь, делай, что должен, — будь, чему быть». Автором этого исследования оказалась Софья Васильевна Ковалевская (1850—1891). В ее работе, называвшейся «Задача о вращении твердого тела вокруг неподвижной точки», найден еще один случай (носящий ее имя), для которого решение может быть получено при произвольных начальных условиях. Этот случай характеризуется условием динамической симметрии и соотношением главных моментов инерцииА = В = 2С, когда центр масс тела расположен в плоскости равных главных моментов инерции, точка опоры расположена в той же плоскости. Ковалевская довела решение до квадратур, которые оказались не эллиптическими, как в случаях Эйлера и Лагранжа, а гиперэллиптическими. Глубокий анализ проблемы, выполненный Ковалевской, привел ее к выводу о том, что в общем случае найти однозначные общие интегралы, обладающие свойством меромофности в комплексной плоскости, невозможно.

Специальным прикладным разделом динамики твердого тела с одной неподвижной точкой является теория гироскопа. Развитие этой практической области началось после 1851 г., когда Л. Фуко поставил в Парижском Пантеоне знаменитый опыт с качающимся маятником, обнаруживающим вращение Земли и позволяющим измерить угловую скорость ее вращения. Через год Фуко сконструировал прибор, названный им гироскопом, основная деталь которого — массивный маховик, быстро вращающийся в трехосном кардановом подвесе. Прибор позволял отмечать смещение конца стрелки, жестко связанной с внешним кольцом подвеса, определяя, таким образом, вертикальную составляющую угловой скорости вращения Земли.

В докладах Фуко, поясняющих действие его приборов, отмечались три свойства гироскопа, чрезвычайно полезные для дальнейшего использования этого прибора: возможность наблюдать вращение Земли с помощью трехосного (с тремя степенями свободы) гироскопа с неизменно ориентированной осью; возможность ориентации собственной оси ротора (гироскопа) в плоскости горизонта при двух степенях свободы; для измерения географической широты места (двухосный гироскоп, позволяющий перемещение собственной оси в вертикальной фиксированной плоскости). Таким образом, принципиальные возможности прибора Фуко для наблюдения вращения Земли, для сохранения ориентации системы в инерционном пространстве, для измерения долготы и широты местности были выявлены уже самим изобретателем этого прибора. Однако на пути использования гироскопа в указанных целях стояли многочисленные технические трудности: прибор уже представлял собой не одно твердое тело, а систему тел, в которой действовали разнообразные мало изученные силы (трение, сопротивления, упругие силы и пр.).