2. Разработка принципа виртуальных скоростей учеными XVIII и начала XIX в.

Формулировка принципа виртуальных скоростей в трактате Вариньона «Новая механика»2, заимствованная им, по его словам, из письма И. Бернулли 1717 г., давала четкую количественную зависимость, необходимо имеющую место при равновесии любой системы сил, в виде равенства нулю суммы работ («энергий»).

Время опубликования приведенной формулировки совпадала с завершающей фазой периода мануфактурной промышленности. Машина, механизм становились главными объектами изучения в механике. Промышленный переворот XVIII — начала XIX в. усилил интерес механиков к проблемам расчета равновесия и движения механизмов и машин, того, что позже стали называть механической системой со связями. Анализируя доказательство Лагранжа принципа виртуальных скоростей, Кирпичев писал: «Это доказательство интересно как указатель тесной связи нашего начала с машинами и механизмами разного рода. Само начало возможных перемещений выросло на почве изучения машин, и следы этого происхождения видны во многих доказательствах начала».

Л. Карно (1753—1823), по-видимому, сделал первую попытку обоснования и аналитической записи принципа виртуальных скоростей. В его сочинении «Опыт о машинах вообще» (1783) содержится теория равновесия и движения механической системы, которую Карио называет машиной. В 1803 г. вышло третье издание этого сочинения под названием «Общие принципы равновесия и движения». Одна из основных проблем этого сочинения — вывод условия равновесия машины при помощи расчета приращения работы сил (термина такого еще нет) на виртуальных перемещениях точек приложения сил. Карно вводит вместо сил, действующих в машине, заменяющую схему грузов, производящих посредством нитей в точках приложения сил те же действия, что и сами силы.

Пусть в некоторой точке М приложена сила F; в первое мгновение после нарушения равновесия точка М имела бы «геометрическое движение» (т. е. перемещение, допустимое связью) со скоростью и. Угол между направлением силы F и скоростью и обозначен через z. Вместо силы в той же точке, по схеме Карно, подводится нерастяжимая невесомая нить по направлению действия силы F. К свободному концу нити, свисающей после огибания идеального направляющего блока (дающего нити нужное направление в точке М), подвешен груз Р такой же величины, как и сила F. Так поступает Карно в каждой точке системы. В результате он приходит к системе грузов, связанных посредством частей машины, в точках которой присоединены нити, несущие грузы. Равновесие полученной системы грузов трактуется с помощью принципа Торричелли о наинизшем положении центра тяжести системы. Как и Торричелли, Карно вместо условия минимальности высоты центра тяжести системы грузов ограничивается записью условия экстремума вертикальной координаты этого центра. Так Карно получает формулу:

𝑆𝐹𝑢 cos 𝑧 = 0,

являющуюся первой аналитической записью принципа виртуальных скоростей. Символ S означает суммирование по всем М точкам системы. Выражение, стоящее под знаком суммы, Карно называет «моментом активности», придавая чрезвычайно большое значение этой характеристике в теории машин. Он указывает, что именно это количество нужно по возможности экономить, чтобы извлечь из двигателя весь тот эффект, который он способен дать. На современном языке левую часть равенства можно назвать виртуальной мощностью машины (т. е. работой всех приложенных сил на виртуальных перемещениях точек приложения в единицу времени).

Подробно исследуя явление удара, Карно выводит уравнение сохранения суммарного количества движения соударяющихся тел, а затем приходит к теореме, носящей его имя: при соударении произвольного числа жестких тел сумма живых сил перед соударением равна сумме живых сил после удара, сложенной с суммой живых сил отдельных тел, если бы они свободно двигались со скоростями, потерянными в процессе удара. В современной терминологии эта теорема Карно верна для абсолютно неупругих ударов. Карно делает вывод, что выгоднее конструировать такие машины, в которых движения передаются от звена к звену безударно, так чтобы не происходило потерь живой силы на удар.

В оригинальных работах Л. Карно явственно сквозит инженерный подход к решению проблем механики, однако терминология Карно и его стремление обойтись без понятия силы делают затруднительным подробное изложение его рассуждений. Тем не менее многие его идеи и результаты в целом оказали заметное влияние на дальнейшее развитие механики.

Знаменитый французский механик и математик Жозеф Луи Лагранж (1736—1813) весьма рано проявлял склонности к занятиям точными науками. В 19 лет он уже получил должность профессора математики в Туринской артиллерийской школе. В 1756 г. он был избран иностранным членом Берлинской Академии наук. В 1766 г. после отъезда Эйлера из Берлина в Россию Лагранж занял его место президента физико-математического отделения Берлинской Академии наук. Берлинский период деятельности Лагранжа (до 1787 г.) был особенно плодотворен, трактат «Аналитическая механика» написан именно тогда. В 1787 г. Лагранж переезжает в Париж, где избирается в состав Парижской Академии наук, иностранным членом которой он был в 1772 г. После революции 1789 г. он остается во Франции и принимает деятельное участие в выполнении научных и педагогических заданий Конвента.

Трактат Лагранжа «Аналитическая механика» начинается со статики, с научноисторического исследования «О различных принципах статики». Проследив историю развития основных принципов статики — принципа рычага, принципа сложения и разложения сил, принципа виртуальных скоростей, Лагранж приходит к выводу, что два первых принципа могут быть выведены из третьего — самого общего принципа статики.

Этому принципу Лагранж придает следующую формулировку: «Если какая-либо система любого числа тел, или точек, на каждую из которых действуют любые силы, находится в равновесии и если этой системе сообщить любое малое движение, в результате которого каждая точка пройдет бесконечно малый путь, представляющий се виртуальную скорость, то сумма сил, помноженных каждая соответственно на путь, проходимый по направлению силы точкой, к которой она приложена, будет всегда равна нулю, если малые пути, проходимые в направлении сил, считать положительными, а проходимые в противоположном направлении считать отрицательными».

Лагранж далее выражает уверенность, что все общие принципы, которые могли бы быть еще впредь открыты в учении о равновесии, представляли бы не что иное, как тот же принцип виртуальных скоростей. Однако этот принцип Лагранж не считает очевидным настолько, чтобы его можно было признать начальным. Естественным основанием для принципа виртуальных скоростей Лагранж считает принцип блоков, или принцип полиспастов. Лагранж проводит доказательство, используя заменяющую схему полиспастов с одной нитью и единичным грузом на конце нити. Этот груз через полиспасты производит на точки материальной системы действие, эквивалентное действию заданной системы сил.

Допустим, что точки материальной системы подвержены действию сил P,Q,R... Лагранж представляет, что к этим точкам привязаны нити, идущие от подвижных блоков полиспастов, причем каждый полиспаст имеет число подвижных блоков и число витков, равные величинам каждой из сил.

Тогда единичный груз я на свободном конце нити полиспастов вызывает тот же эффект, что и сами силы. Лагранж пишет: «Ясно, что для сохранения равновесия этой системы, подверженной действию различных сил, необходимо, чтобы при любом бесконечно малом перемещении точек системы груз не опускался».

Лагранж обозначает через а, α,β,γ... возможные бесконечно малые смещения точек системы вдоль линии действия сил P,Q,R... Тогда высота h, на которую груз мог бы опуститься, выражалась бы так:

,

Необходимым условием равновесия системы является равенство кулю величины h,, т. е. 𝑃𝛼 + 𝑄𝛽 + 𝑅𝛾 + ⋯ = 0.

Достаточность этого условия Лагранж доказывает только для двусторонних связей. Если допустить, что это равенство имеет место, то оно должно удовлетворяться как положительными перемещениями, так и отрицательными, и, таким образом, не существует никаких оснований для того, чтобы равновесие было нарушено э ту или другую сторону. Следовательно, должно иметь место равновесие. «Таков случай весов, находящихся в равновесии, так как нет никаких оснований для того, чтобы они скорее наклонились на одну сторону, чем на другую», — поясняет автор.

Отдел второй «Статики» Лагранжа называется «Общая формула статики». Вместо виртуальных перемещений α,β,γ… Лагранж вводит дифференциалы dp, dq, dr,... расстояний p, q, r... между подвижным и неподвижным блоками полиспастов и получает общую формулу статики:

𝑃𝑑𝑝 + 𝑄𝑑𝑞 + 𝑅𝑑𝑟+ . . . = 0.

Выражения Pdp, Qdq, Rdr, ... Лагранж называет моментами сил, по терминологии XIX

в. это работа сил на виртуальном перемещении, взятая со знаком минус.

Далее Лагранж поясняет, как пользоваться этой формулой для расчета состояния равновесия системы: сначала рассматривается случай системы, допускающий поступательное или вращательное движение без изменения относительного взаимного расположения точек системы. Здесь же в отделе третьем Лагранж вводит функцию П, являющуюся потенциальной энергией системы, хотя он этого термина не употреблял. Необходимое и достаточное условие равновесия системы под действием консервативных сил характеризуется экстремумом этой функции. При этом Лагранж доказывает, что положение равновесия, соответствующее минимуму функции П, устойчиво, а максимуму — неустойчиво.

В отделе четвертом Лагранж выводит условия равновесия для систем со связями и дает метод, называемый сейчас методом неопределенных множителей Лагранжа. В отделе пятом рассматривается применение этого метода и общей формулы статики к решению отдельных конкретных задач о системах материальных точек, связанных нитями или стержнями, жесткими или упругими, о равновесии упругой пластинки, о равновесии твердого тела под действием любой системы сил. В последующих отделах излагается гидростатика.

«Статика» Лагранжа имеет весьма богатое содержание, значение которого для развития аналитической механики чрезвычайно велико.

Наряду с Лагранжем вопросом обоснования закона возможных перемещений занимались и другие представители парижской Политехнической школы.

Жан Батист Жозеф Фурье (1768—1830)—член Парижской Академии наук с 1817 г., особенно прославившийся позже своим трудом «Аналитическая теория тепла» (1822), в 1798 г. опубликовал в журнале Политехнической школы статью о принципе возможных перемещений — «Мемуар о статике, содержащей доказательство принципа виртуальных скоростей и теорию моментов».

Понятие «момента силы» Фурье употребляет в смысле Карно и Лаграижа. Оригинальным и чрезвычайно ценным было введение Фурье условия равновесия некоторых систем с неудерживающими связями. Пристальное внимание всех, кто занимался исследованием развития учения о связях, вызывал пункт шестой мемуара Фурье. Здесь в очень краткой форме, без обоснования, новполне отчетливо утверждается, что условием равновесия гибкой нерастяжимой нити под действием сил, приложенных к ее концам, является неположительность суммы элементарных работ всех сия на возможных перемещениях точек их приложения. М. В. Остроградский позже указывал на первую запись такого условия для систем с неудерживающими связями у Фурье. Из других примеров подобного рода в том же мемуаре упоминается случай равновесия двух жестких поверхностей, прижимаемых друг к другу равными и противоположными силами, приложенными в точке соприкосновения поверхностей перпендикулярно к обеим поверхностям.

В пункте одиннадцатом раздела первого Фурье еще раз повторяет, что для систем с освобождающими «условиями» (т. е. связями) полный момент сил положителен для всех перемещений с освобождением (напомним, что «полный момент сил» по терминологии того времени означал суммарную работу активных сил, взятую со знаком минус).

В рассматриваемом мемуаре Фурье дал правильный анализ устойчивости положения равновесия: критерий устойчивости найден Фурье в виде требования положительности квадратичной части приращения «полного момента сил» на виртуальном перемещении точек приложения сил при равенстве нулю линейной части этого приращения. В современной терминологии такое условие дает минимум потенциальной энергии системы активных сил.

Важный шаг в разработке понятия идеальных связей сделал П. С. Лаплас (1749—1827) в первом томе трактата «Небесная механика».

Общая формула статики (принцип виртуальных скоростей) трактуется Лапласом как следствие уравнений равновесия материальной системы, известных в геометрической статике. Рассуждение на эту тему содержится в первой книге «Небесной механики» Лапласа, называющейся «Об общих законах равновесия и движения».

Кратко рассуждения Лапласа можно передать так. Материальную точку механической системы, остающуюся на некоторой поверхности или линии, можно рассматривать как свободную, добавив к действующим на нее силам еще силы реакции поверхности (линии). Условие равновесия всех сил в данной точке, мысленно изолированной от других точек системы, записывается в виде равенства нулю суммы проекций всех сил на данную координатную ось (на основе принципа сложения и разложения сил геометрической статики). Так получены три уравнения равновесия сходящихся в каждой точке системы сил, известные со времени опубликования трактата Вариньона «Новая механика» (1725). Лаплас умножает каждое такое уравнение на возможное перемещение точки по поверхности (линии) и суммирует все такие уравнения для всех точек, мысленно выделенных из системы.

Самое интересное и оригинальное рассуждение Лапласа состоит в том, что он утверждает равенство нулю суммы произведений сил реакций на возможные перемещения точек. Объясняет это равенство Лаплас ортогональностью сил реакций поверхности (или двух поверхностей в случае линии их пересечения) к возможным перемещениям точек по своим поверхностям. Таким образом, здесь, видимо, впервые, используется абстракция «идеальных связей».

Отбрасыванием суммы элементарных работ сил реакций связей на возможных перемещениях точек их приложения (используем современную терминологию) Лаплас получал общую формулу статики Лагранжа, или аналитическую запись принципа

виртуальных скоростей, подчеркивая, что эта формула является простым следствием принципов геометрической статики.

Такая же трактовка принципа виртуальных скоростей встречается в сочинениях Пуассона. Ученые Парижской Политехнической школы, разрабатывавшие индустриальную или техническую механику, придали энергетическую форму и трактовку величине, называемой ранее полным моментом сил. Г. Кориолис в «Трактате о механике твердых тел и о расчете действия машин» (1844) называет сумму произведений действующих сил на возможные перемещения точек их приложения по линии действия сил «работой движения». Автор указывает, что термин «работа» для той же суммы используется Навье, Прони и другими (мы можем добавить Понселе, если говорить об ученых первой половины XIX в.).