3.Общая формула динамики Лагранжа

Выдающейся заслугой Лагранжа является то, что он нашел самую общую закономерность механики, основанную на сочетаниипринципа Даламбера (в форме Германа — Эйлера) с принципом возможных перемещений. Лагранж предлагает аналитическую запись выражения обеих категорий сил, фигурирующих в принципе Германа — Эйлера. Проекции активных сил, приложенных к точкам системы со связями, обозначаются Лагранжем через Х_i, Y_i, Z_i. Для аналитического выражения второй категории сил, требуемых для совершения истинного совокупного движения тел системы, Лагранж фактически (без специальных оговорок) применяет принцип ускоряющих сил: он записывает вместо них произведения масс точек на их ускорения в проекциях на декартовы оси .

По принципу Германа — Эйлера устанавливается эквивалентность обеих вышеупомянутых категорий сил, что записывается посредством самого общего, по мнению Лагранжа, принципа статики— принципа виртуальных скоростей. Так приходит Лагранж к своей знаменитой общей формуле динамики:

Теперь это соотношение называют общим уравнением динамики системы Даламбера — Лагранжа. Это и есть общий алгоритм, приводящий к решению любой динамической задачи.

Мечта ученых века рационализма — одним законом охватить все проблемы механики — свершилась. Со времени этого открытия прошло двести лет, но до сих пор не исчезает удивление: «Неужели природа механической действительности так проста, что позволяет — даже Лагранжу — объять себя в единой формуле?»

Из этой формулы Лагранж этап за этапом получает все закономерности динамики, общие теоремы, принцип наименьшего действия, все формы дифференциальных уравнений движения, экстремальные свойства положения равновесия, все важнейшие свойства движения тел и системы. Все это в дальнейшем будет кратко изложено.

Однако при тщательном изучении принципиальной части динамики Лагранжа нельзя не заметить, что «Лагранж совершенно не упоминает о знаменитых опытах Ньютона, которыми установлена пропорциональность массы весу тела независимо от его химического состава, иными словами, установлено постоянство ускорения силы тяжести в данном месте земной поверхности. Без этого установления понятие о массе, которого Лагранж совсем не дает, не имеет определенности, и значит вся динамика витает в эмпиреях как отрасль анализа, не связанная с физической природой земных вещей, и кажется приложимой лишь к изучению движения тел небесных, которое само для себя устанавливает числовую меру их масс, в долях массы солнца, принимаемой за единицу».

Далее А. Н. Крылов критикует лагранжевское определение силы, по которому «силы измеряются количеством движения» тела. В записях Лагранжа количества движения тела правильно приравниваются импульсу силы, так что на вычисления такое нечеткое определение не повлияло. Но в тексте трактата эта неточность усиливается дальнейшим рассуждением о называемой Лагранжем «зарождающейся силе», которая приравнивается им произведению массы на ускорительную силу (так называли в то время ускорение). А. Н.

Крылов разъясняет, что попытка Лагранжа назвать «зарождающуюся силу» по-другому, например, давлением движущей силой и пр., не вносит ясность в вопрос: что такое сила.

Причину этой путаницы А. Н. Крылов видит в том, что Лагранж стремился одновременно с эскизом исторического развития динамики (что выполнено бесподобно, по выражению А. Н. Крылова) попутно дать определения ее основных понятий и формулировки основных законов. Это Лагранжу удалось не вполне. Крылов замечает: «Лагранж в век Руссо, Вольтера, Даламбера, Дидро, последовавший за веком Расина и Корнеля, т. е. в век, когда красота стиля французских писателей достигла своего совершенства, захотел избавить и общую часть своего произведения от палисада педантизма, при котором не может быть и речи о красоте стиля; но здесь он, может быть, зашел несколько дальше, чем следовало».

Рассматривая различные типы механических систем с точки зрения различных классов возможных перемещений, допустимых природой системы, Лагранж приходит к формулировке общих свойств движения, которые теперь называются общими теоремами динамики системы: теорема о движении центра масс (когда система может поступательно перемещаться), теорема об изменении кинетического момента системы (когда связи системы допускают ее вращение в целом вокруг некоторой неподвижной оси) и теорема живых сил (когда действительные перемещения точек системы принадлежат к числу возможных перемещений).

Далее Лагранж преобразовал общую формулу динамики и вывел все общие свойства движений для случая, когда силы импульсивные.

Наконец, он перешел к изложению принципа наименьшего действия. Первоначально принцип наименьшего действия появился в работах П. Мопертюи (1698—1759) в качестве общего закона природы, по которому количество действия в механических, оптических и других явлениях расходуется минимально; именно это свойство — минимум действия — отличает истинную траекторию частицы от сравнимой. Мерой действия Мопертюи считал сумму произведений масс частиц на их скорости и на элементы пути. Мопертюи применил свой принцип для расчета соударения двух упругих тел и для установления законов отражения и преломления света.

Исходя из этих довольно специальных применений принципа, Мопертюи придавал универсальное значение этому закону, более того, он извлекал отсюда новое доказательство существования бога. Природа, рассуждал Мопертюи, при совершении своих действий избирает всегда наиболее простые пути, что наилучшим образом подтверждает существование бога, который мудро управляет Вселенной и совершающимися в ней изменениями. Как правильно отмечает Даламбер, там, где речь идет просто об изменении скорости тел при ударе, Мопертюи говорит не иначе как «об изменении в природе»; там, где речь идет об экстремальности некоторой количественной характеристики при ударе тел, Мопертюи говорит о том, что природа действует всегда по самому простому пути.

Против теологического толкования механических законов и результатов Мопертюи выступило много ученых: механиков, математиков, философов и публицистов. В дискуссии3 приняли участие Дарси, Кѐниг, Куртиврон, Эйлер, Даламбер. Вольтер зло высмеивал президента академии наук — Мопертюи, критикуя его принцип и особенно «доказательство» существования бога на основе законов механики.

Заслуга аналитического оформления принципа наименьшего действия, новой записи выражения действия, правильного понимания принципа и его новых приложений принадлежала Л. Эйлеру, благодаря которому этот закон механики получил признание.

Лагранж заинтересовался этим принципом еще в туринский период своей деятельности. Он придал новую форму выражению в действия, а именно вместо эйлерового выражения

(где v — скорость, s — дуга), записанного для одной материальной точки,

Лагранж вводит величину действия для системы материальных точек (под действием консервативных сил), суммируя по точкам величину действия А, умноженную на массу m_i точки, и переходя к аргументу времени t вместо эйлерова аргумента s— длины дуги траектории точки. Действие, по Лагранжу,

где T — кинетическая энергия системы в данный момент времени. Как и Эйлер, Лагранж утверждает, что истинное движение системы отличается от ее кинематический возможных движений тем, что вариация действия для истинных движений равна нулю. В раннем периоде творчества Лагранж придавал фундаментальное значение этому принципу механики, указав ряд его интересных приложений.

Однако ко времени создания «Аналитической механики», имеющей единую базу в виде общей формулы динамики, Лагранж изменил свой взгляд на значение принципа наименьшего действия: «Таков тот принцип, которому... я даю здесь название принципа наименьшего действия и на который я смотрю не как на метафизический принцип, а как на простой и общий вывод из законов механики».

Далее Лагранж переходит к изложению одного из важнейших оригинальных результатов своей аналитической динамики, к выводу из общей формулы динамики так называемых уравнений Лагранжа первого и второго рода. Лагранж вводит обобщенные параметры или координаты, число которых меньше числа обычных координат (декартовых, сферических или других) на число связей, наложенных на систему, и равно числу степеней подвижности или степеней свободы системы. Сделав переход в общей формуле динамики к новым параметрам и приравняв нулю множители при вариациях независимых (обобщенных) параметров, Лагранж получает систему дифференциальных уравнений движения. Итак, зная выражения кинетической энергии и силовой функции, мы обходимся без индивидуальных приемов для записи уравнений движения системы, они получаются автоматически из алгоритма, записанного в виде уравнений Лагранжа второго рода:

где q_i— обобщенные параметры, Т — кинетическая энергия системы, U — силовая функция, k — число степеней свободы системы.

Из этих уравнений путем двукратного их интегрирования можно получить обобщенные координаты как функции времени, т. е. кинематические уравнения движения системы.

Но иногда (особенно в технике) требуется определить не только характер движения системы и ее частей, но и давления на опоры, или реакции связей. Для решения проблем такого характера Лагранж создал другой математический аппарат, обобщив метод неопределенных множителей на динамику. Умножив соотношения для вариаций связей, как делалось это в статике, на неопределенные множители λ, μ, υ,... (по числу условных уравнений, выражающих на языке XX в. соотношения для двусторонних, голономных идеальных связей), Лагранж прибавляет полученные соотношения к общему уравнению динамики. Так получается уравнение:

где 𝐿(𝑥₁ . . . 𝑥_3𝑛) = 0, М(𝑥₁ . . . 𝑥_3𝑛 ) = 0, 𝑁(𝑥₁ . . . 𝑥_3𝑛 ) = 0 — условные уравнения, или уравнения связей указанного типа. Группируя скобки при вариациях декартовых координат и приравнивая их нулю, Лагранж получает уравнения движения, которые теперь называют уравнениями Лагранжа первого рода. Вместе с уравнениями связей полученные уравнения позволяют найти кинематические уравнения движения, а также величины λ, μ, υ,... Таким образом, находятся величины внутренних и внешних сил реакций. В конкретных задачах Лагранж выясняет физический смысл неопределенных множителей.

Например, в задаче о движении тела по заданной поверхности «коэффициент λ служит для определения давления тела на поверхность, заданную уравнением L = 0; если же тело движется по заданной линии, то мы будем рассматривать последнюю, как получающуюся пересечением двух поверхностей, выраженных уравнениями L==0, M=O; два коэффициента послужат тогда для определения давлений, производимых телом на данную линию перпендикулярно к обеим поверхностям».

В задаче о колебании простого маятника заданной длины Лагранж поясняет: «...натяжение, обозначенное через λ., определится следующим образом...», таким образом, здесь механический смысл множителя а — натяжение нити. Изучая движение несжимаемой жидкости, он пишет: «...мы докажем, что величина λ, отнесенная к поверхности жидкости, выражает давление, которое здесь производит жидкость и которое, если оно не равно нулю, должно уравновешиваться сопротивлением или действием стенок».

Относительно метода неопределенных множителей Лагранжа весьма удачно выразился Н. И. Идельсон: «Таким образом и здесь... не было необходимости проводить внутренние сечения и изучать действующие на них поверхностные силы, не .пришлось пользоваться принципом отвердевания или усиления реакции связей — единая формула (1) здесь сделала .свое дело: она как бы автоматически (привела нас к уравнениям движения изучаемых систем, а множитель λ, как некий Протей, приобретал в ней каждый раз особенное механическое значение».

Отдел четвертый, главные достижения которого — вывод двух форм дифференциальных уравнений движения системы, завершается замечаниями относительно возможности найти общие интегралы системы дифференциальных уравнений: интегралы движения центра масс системы, интегралы площадей и интеграл энергии.

Переходя к разработке важнейших приложений полученной системы дифференциальных уравнений движения системы, Лагранж прежде всего дает «Общий приближенный метод решения задач динамики, основанный на вариации произвольных постоянных».

Если бы Лагранж ограничился выводом общей формулы динамики, охватывающей наиболее полно весь разнообразный мир механических явлений, дав две разновидности дифференциальных уравнений движения, позволяющих единообразно решать всевозможные проблемы динамики, то и тогда значение его трактата было бы чрезвычайно велико. Однако Лагранж не довольствовался созданием единого математического аппарата аналитической механики, с помощью которого любая проблема механики могла быть выраженной в виде дифференциальных уравнений второго порядка. Он стремился и сумел найти наиболее общие и эффективные пути решения этих уравнений и доведения до числовых результатов обширной группы динамических задач.

Лагранж замечает, что дифференциальные уравнения движения системы «требуют еще интегрирований, которые зачастую превышают возможности известного нам анализа; поэтому приходится прибегать к приближениям, и наши формулы дают также наиболее подходящие средства для этой цели». Приближенный метод интегрирования уравнений движения динамики был навеян задачами небесной механики и теми способами последовательных приближений, которые использовались в астрономической практике XVIII вг Сущность метода, который позже превратился в общий метод вариации произвольных постоянных, сводилась к тому, что, зная движение планеты под действием притяжения одного только Солнца, пытались найти близкое к данному невозмущенному движению реальное, вызванное также и действием соседней планеты, масса которой много меньше солнечной массы.

Лекция 15. Краткий обзор основных механических дисциплин XIX и начала XX в.

План лекции

1. Аналитическая динамика в XIX в.

2. Теория малых колебаний и устойчивость движения

3. Внешняя баллистика

4 Прикладная механика

5. Изучение упругих свойств материалов

6. Механика жидкости и газа