Упражнения по теме практического занятия

1. Постройте таблицы истинности для следующих формул. Определите вид формул (тождественно-истинная, тождественно-ложная, выполнимая):

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) ;

е) ;

ж) ;

з) ;

и) ;

к) .

Пример. Дана формула: . При построении таблицы истинности прежде всего следует выявить число пропозициональных переменных. В данной формуле две пропозициональных переменных: p и q. Следуя алгоритму, общее количество строк (возможных комбинаций значений пропозициональных переменных) равно четырем. Затем необходимо выявить все подформулы: , , и . Главным знаком является импликация. Таким образом, общее количество столбцов – 5. Таблица данной формулы (в соответствии с табличными определениями пропозициональных связок) будет иметь вид:

p	q
и	и	л	л	и	и	и
и	л	л	и	и	и	и
л	и	и	л	и	и	и
л	л	и	и	л	л	и

2. Запишите все возможные импликации между p, q и их отрицаниями и установите, какие из них эквивалентны друг другу. То же самое сделайте для эквиваленции.

Пример. При выполнении данного задания необходимо прежде всего записать все комбинации формул, не прибегая к отрицаниям. Затем нужно сделать то же самое в отношении каждой формулы, отрицая отдельные пропозициональные переменные, обе пропозициональные переменные, всю формулу (как с отрицанием, так и без отрицания пропозициональных переменных). Например, рассмотрим все возможные конъюнкции тех же самых пропозициональных переменных: , , , , , , , , , , , , , , . Присвоим данным формулам номера от 1 до 16 и построим соответствующую таблицу истинности:

p

q

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

и

и

и

л

л

л

л

и

и

и

и

л

л

л

л

и

и

и

и

л

л

л

и

л

и

и

л

и

л

и

л

л

и

л

и

и

л

и

л

и

л

л

и

л

и

и

л

л

и

л

и

и

л

и

л

л

л

л

л

и

и

и

и

л

л

л

л

и

и

и

и

л

Данная таблица может быть проинтерпретирована в соответствии с определением эквивалентности. Две формулы логически эквивалентны, если и только если из первой логический следует вторая, а из второй первая. Таким образом, эквивалентными являются формулы: {1,9}, {2,11}, {3,10}, {4,12}, {5,13}, {6,15}, {7,14}, {8,16}.

3. Определите табличным методом отношения между высказываниями:

а) если Иванов честен, то он не может быть мошенником;

б) Иванов либо мошенник, либо честный человек;

в) Иванов – честный человек, и он не является мошенником;

г) неверно, что Иванов мошенник и честный человек.

Примечание. При выполнении данного задания необходимо выявить пропозициональные переменные. Затем последовательно выявить логические формы высказываний, построить совместную таблицу истинности для выявленных формул и установить основные отношения между формулами (совместимость по истинности, совместимость по ложности, логическое следование), а также производные (контрадикторности, контрарности, субконтрарности, эквивалентности, подчинения и независимости).

4. Определите, какие из данных предложений эквивалентны в логике высказываний:

а) он читал эту книгу, но не видел этого фильма;

б) он читал эту книгу или не видел этого фильма;

в) неверно, что он не читал этой книги или видел этот фильм;

г) он читал эту книгу и видел этот фильм или он не читал этой книги и не видел этого фильма;

д) если он видел этот фильм, то читал эту книгу;

е) если и только если он видел этот фильм, то он читал эту книгу.

Примечание. Данное задание выполняется в том же порядке, что и предыдущие два. Однако выявляются только эквивалентные высказывания.

5. С помощью таблиц истинности установите вид отношений между высказываниями:

а)  ;

б)  ;

в)  ;

г)  ;

д)  .

Примечание. Для данных высказываний составляется общая таблица истинности, по которой впоследствии устанавливаются отношения между высказываниями.

6. Упростите следующие формулы, насколько это возможно:

а)  ;

б)  ;

в)  ;

г)  ;

д)  ;

е)  .

Пример. Дана формула . Для упрощения данной формулы повторим вторую подформулу: . В соответствии с законом дистрибутивности мы можем получить из формулу . Последняя формула может быть сокращена в соответствии с законом удаления ложного члена дизъюнкции до q. Из формулы , в соответствии с законом дистрибутивности, можно получить формулу , а последнюю, в соответствии с законом удаления ложного члена дизъюнкции, можно сократить до . Следовательно, анализируемая формула может быть упрощена до .

6. Определите, какой из законов правильного мышления нарушен в данных примерах:

а) Нельзя сказать, что наша организация предпринимала какие-либо усилия для решения этой проблемы, в то же время нельзя сказать, что мы бездействовали.

б) Парламент – это не место для дискуссий.

в) Товарищи судьи! Гражданин Иванов – честный человек, а смошенничал он из благородных побуждений!

7. Проверьте табличным методом правильность рассуждений:

а) Если наблюдается падение цен на нефть, то российский бюджет будет сведен с дефицитом. Значит, если российский бюджет имеет профицит (превышение доходов над расходами), то падения цен на нефть не было.

б) Если человек имеет российское гражданство, то он не может быть выдан иностранному государству. Гражданин Л. имеет российское гражданство.

в) Если человек занимается предпринимательской деятельностью либо замещает должность на государственной службе, то он не может быть депутатом Государственной Думы Федерального Собрания Российской Федерации. Гражданин Г. занимается предпринимательской деятельностью. Значит, гражданин Г. не может обладать мандатом депутата Государственной Думы.

Примечание. Рассуждение является правильным только в том случае, если соединенные в единое высказывание посылки и заключение являются тождественно-истинной формулой. При этом следует помнить, что вывод эквивалентен импликации.

8. Решите задачи:

а) Четверо задержанных – Иванов, Петров, Сидоров и Трутнев – подозреваются в угоне автомашины. При допросе они дали следующие показания: 1) Иванов: «Это был Петров»; 2) Петров: «Это сделал Трутнев»; 3) Сидоров: «Это не я»; 4) Трутнев: «Петров лжет, говоря, что это я».

Дальнейшее расследование показало, что только один из них сказал правду. Кто угнал машину?

б) Командир осажденной крепости послал три сообщения:

– «Если нам удастся получить продовольствие, то нам не будет угрожать смерть от голода»;

– «Если нам не удастся получить продовольствие, то или нам будет угрожать смерть от голода, или мы попытаемся прорваться»;

– «Если нам будет угрожать смерть от голода, то мы попытаемся прорваться».

Покажите символически, как можно сократить эти сообщения, не меняя их смысла?

в) Обвиняемые Иванов, Петров и Сидоров дали следующие показания: 1) Иванов: «Петров виновен, а Сидоров невиновен»; 2) Петров: «Иванов невиновен или Петров невиновен»; 3) Сидоров: «Я невиновен, но хотя бы один (Иванов или Петров) виновен».

Совместимы ли эти показания, т. е. могут ли они быть верными одновременно? Предположив, что все высказывания правдивы, определите, кто виновен.

г) При составлении расписания уроков на понедельник учителя попросили, чтобы их уроки в одном классе были: математик – первым или вторым, историк – первым или третьим, физик – вторым или третьим.

Можно ли удовлетворить просьбу всех трех учителей?

д) Три студента – Климов, Власов и Петров – получили на экзамене три различные оценки – «3», «4» и «5». На вопрос, какую оценку каждый из них получил, последовало три ответа: 1) Климов получил «3»; 2) неверно, что Власов получил «3»; 3) Петров не получил «5». Известно, что только один из этих ответов верен.

Какую оценку получил каждый из студентов?

е) Четыре студентки – Мария, Нина, Ольга и Полина – участвовали в соревнованиях и заняли четыре первых места. На вопрос о распределении мест последовало три разных ответа: 1) Ольга первая, а Нина вторая; 2) Ольга вторая, Полина третья; 3) Мария вторая, Полина четвертая. В каждом ответе, по крайней мере, одна часть верна.

Какое место заняла каждая из девушек?

ж) Разбирается дело Брауна, Джонса и Смита. Один из них совершил преступление. В процессе расследования каждый из них сделал по два заявления: 1) Браун: «Я не делал этого. Джонс не делал этого»; 2) Джонс: «Смит сделал это. Браун не делал этого»; 3) Смит: «Я не делал этого. Браун сделал это».

Было установлено далее, что один из них дважды солгал, другой дважды сказал правду, а третий раз солгал, раз сказал правду.

Кто совершил преступление?

з) В велогонке участвовали пять студентов и заняли пять первых мест. На вопрос, кто из них занял конкретное место, ребята ответили: 1) Сережа занял второе место, Коля – третье; 2) Толя – первое, Надя – второе; 3) Надя – третье, Толя – пятое; 4) Сережа – второе, Ваня –четвертое; 5) Коля – первое, Ваня – четвертое место.

В каждом ответе одна часть истинна, вторая ложна.

Какое место занял каждый из студентов?

Примечание. Данное задание может быть решено разными способами: как с помощью естественных рассуждений, так и при помощи таблиц истинности.

Список литературы по теме практического занятия

Основная литература

1. Бочаров, В.А. Введение в логику : учебник / В.А. Бочаров, В.И. Маркин. – М. : ИД «ФОРУМ» : ИНФРА-М, 2008. – С. 85–115.

2. Войшвилло, Е.К. Логика : учебник для студентов высших учебных заведений / Е.К. Войшвилло, М.Г. Дегтярев. – М. : ВЛАДОС-ПРЕСС, 2001. – С. 87–103.

3. Войшвилло, Е.К. Символическая логика (классическая и релевантная): философско-методологические аспекты : учебное пособие. – Изд. 2-е. – М. : Книжный дом «ЛИБРОКОМ», 2011. – С. 31–38.

4. Попов, Ю.П. Логика : учебное пособие / Ю.П. Попов. – 3-е изд., перераб. и доп. – М. : КНОРУС, 2009. – С. 198–216.

Дополнительная литература

5. Гладкий, А.В. Введение в современную логику / А.В. Гладкий. – М. : МЦНМО, 2001. – С. 27–71.

6. Жоль, А.А. Логика : учебное пособие для вузов. – М. : ЮНИТИ-ДАНА, 2004. – С. 136–174.

7. Иванов, Е.А. Логика : учебник для студентов юридических вузов и факультетов / Е.А. Иванов. – Изд. 3-е, перераб. и доп. – М. : Волтерс Клувер, 2005. – С. 289–323.

8. Ивин, А.А. Современная логика / А.А. Ивин. – Фрязино : Век 2, 2009. – С. 184–210.

9. Ивлев, Ю.В. Логика : учебник / Ю.В. Ивлев. – Изд. 3-е, перераб. и доп. – М. : ООО «ТК Велби», 2002. – С. 42–49.

10. Непейвода, Н.Н. Прикладная логика : учебное пособие / Н.Н. Непейвода. – Ижевск, 2002. – С. 1–36.

11. Светлов, В.А. Современная логика : учебное пособие. – СПб. : Питер, 2006. – С. 210–227, 253–260.

12. Формальная логика : учебник / отв. ред. И.Я. Чупахин, И.Н. Бродский. – Л. : ЛГУ, 1977. – С. 200–240.

13. Хаггард, Г. Дискретная математика для программистов : учебное пособие / Г. Хаггард, Дж. Шлипф, С. Уайтсайдс ; пер. с англ. – М. : БИНОМ. Лаборатория знаний, 2010.

14. Шуман, А.Н. Современная логика: теория и практика / А.Н. Шуман. – Мн.: Экономпресс, 2004. – С. 76–84.

Монографии, статьи, словари, сборники задач

15. Гильберт, Д. Основы теоретической логики / Д. Гильберт, В. Аккерман ; под ред., с предисл. и коммент. С.А. Яновской ; пер. с нем. – Изд. 2-е, испр. – М. : КомКнига, 2010. – С. 19–67.

16. Зиновьев, А.А. Очерки комплексной логики / А.А. Зиновьев ; под ред. Е.А. Сидоренко. – М. : Эдиториал УРСС, 2000. – С. 93–99.

17. Клини, С.К. Введение в метаматематику / С.К. Клини ; под ред. В.А. Успенского ; пер. с англ. – Изд. 2-е, испр. – М. : Книжный дом «ЛИБРОКОМ», 2009. – С. 67–80.

18. Мельников, В.Н. Логические задачи / В.Н. Мельников. – К. ; Одесса : Выща шк., 1989. – С. 59–107.

19. Смирнова, Е.Д. Логика и философия / Е.Д. Смирнова. – М. : РОССПЭН, 1996.

20. Чёрч, А. Введение в математическую логику. Т. 1 / А. Чёрч ; под ред. и с предисл. В.А. Успенского ; пер. с англ. – Изд. 2-е. – М. : Книжный дом «ЛИБРОКОМ», 2009. – С. 65–111.

6 Классическая логика предикатов

План

1. Язык логики предикатов:

а) алфавит логики предикатов первого порядка;

б) термы и формулы;

в) синтаксические понятия логики предикатов (область действия квантора, свободное и связанное вхождение переменных, местность терма и формулы, замкнутые термы и формулы);

г) интерпретация языка логики предикатов.

2. Виды формул логики предикатов первого порядка. Отношения между формулами классической логики предикатов:

а) недетерминированные (выполнимые) формулы, общезначимые формулы и логически ложные формулы;

б) совместимость по истинности и совместимость по ложности;

в) логическое следование.

3. Учение традиционной логики о суждении как форме мышления:

а) общая характеристика и роль учения о категорических суждениях в традиционной логике;

б) виды простых суждений;

в) объединенная классификация категорических суждений;

г) отношения между категорическими суждениями (логический квадрат);

д) выделяющие и исключающие суждения.