5.6. Функция

Понятие функции ввели Ферма и Декарт. Полное понятие функции привел Леонард Эйлер в XIX веке.

Функция — это функциональное соответствие, т.е. соответствие с функциональным графиком. F = < Ф, X, Y >, Ф — функциональный график.

Функцией из множества X в множество Y называется соответствие, где каждый элемент множества Х связан с единственным элементом множества Y. Другими словами, для каждого xX в соответствии существует ровно одна пара вида <x, y>. В графической интерпретации из каждого элемента Х выходит ровно одна стрелка.

Говорят, что функция — это кортеж длины 3, в котором первая компонента является подмножеством прямого декартового произведения второй и третьей компонент и первая компонента — функциональный график.

На рис.5.33 изображена функция из множества X = {a, b, c, d} в множество Y = {1, 2, 3}, состоящая из пар {<a, 1>, <b, 1>, <c, 1>, <d, 3>}.

Рис.5.33. Пример функции из множества Х в множество Y

Выражение для определения функции можно записать в виде

F = < Ф, X, Y >,

где Ф — функциональный график, Ф  X x Y.

Выражение, обозначающее функцию, иногда записывают так:

_F

XY или F: XY.

Другими словами, если имеется некоторый элемент < a, b >F, то говорят, что функция отображает элемент а в элемент b. Или говорят, что значение функции (F(a)) на элементе а равно F(a)=b.

Функция F называется тождественной, если

Ф = X & X=Y,

где X – диагональ на области X  X.

Функция F называется константной, если существует такой элемент bY, что график Ф = X  {b}.

Функция F тогда и только тогда всюду определена, когда

(xX)[F(x)].

То есть для любого элемента множества Х всегда существует как минимум одно отображение.

Функция F тогда и только тогда биективна, когда она всюду определена, сюрьективна и инъективна.

Отметим следующее: для функции справедливы операции инверсии и композиции. Композиция функции также будет являться функцией. Для инверсии же существует следущее правило:

Инверсия F^-1 функции F, т.е. F^-1 = <Ф^-1, Y, X> необязательна должна быть функцией. Существует критерий функциональности инверсий.

Инверсия F^-1 функции F тогда и только тогда является функцией, когда функция F — инъективна.

Для любых значений функций F₁ и F₂ справедливо

(F₁•F₂)(x) = F₂(F₁(x)).

Рассмотрим понятие обратной функции. Обратной функцией является функция F^-1.

Отметим 3 основных свойства F^-1.

1. F^-1 является инверсией.

2. F•F^-1 тождествена на пр₁F.

3. F^-1•F тождествена на пр₂F.

Приведем принцип Дирихле. Пусть f: X  Y – функция, причем X и Y – конечные множества. Принцип Дирихле гласит, что если |X| > |Y|, то по крайней мере одно значение f встретится более одного раза. Неформально, принцип Дирихле можно например записать следующим образом:

Если Х – множество белок, а Y – множество клеток, и |Х| = 12, а |Y| = 11, то 12 белок нельзя посадить в 11 клеток так, чтобы в каждой клетке находилась одна белка.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Приведите определение и способы задания соответствия.

2. Как называется и обозначается соответствие Г = (Х, , F)?

3. Из каких элементов образуются матрицы R_ соответствий Г_ и Г_п?

4. Покажите, как выполняются операции над соответствиями.

5. Что такое инверсия соответствия и композиция соответствий?

6. В каких случаях композиция соответствий приводит к соответствию с пустым графиком?

7. В каком случае образ множества при данном соответствии является пустым множеством?

8. Как найти образ и прообраз множества при данном соответствии?

9. Определите сужение и продолжение соответствий.

10. Приведите примеры доказательства тождеств с соответствиями.

11. Определите понятие отображения.

12. Какое соответствие называется:

а) функциональным;

б) инъективным;

в) всюду определенным;

г) сюръективным?

13. Возможно ли нефункциональное, неинъективное, не всюду определенное соответствие? Если да, привести пример.

14. Определите понятие функция.

15. Запишите критерий функциональности инверсий.

16. Поясните принцип Дирихле.

ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ

1. Задать произвольное соответствие Г = (X, Y, F), |X| = 5, |Y| = 5, |F| = 9 теоретическим, матричным и графическим способом.

2. Заданы соответствия Г = <X, Y, F>;  = <W, Z, P>, где X = {1, 2, 3, 4}; Y = {a, b, c, d}; F = {<1, a>; <1, c>; <1, d>; <2, b>; <2, c>; <3, a>; <3, d>; <4, b>; <4, c>}; W = {1, 3, 5, 6}; Z = {b, c, d, e}; P = {<1, b>; <1, c>; <3, b>; <3, d>; <3, e>; <5, c>; <5, d>; <6, d>}.

Найти:

a) Г  ;

б) Г  ^-1;

в) Г  ;

г) Г^-1  ;

д) Г \ ;

е) Г \ ^-1;

ж) Г^-1 \ ;

з) Г^-1 \ ^-1.

3. Заданы соответствия Г = <X, Y, F>;  = <W, Z, P>, где X = {1, 2, 3, 4}; Y = {a, b, c, d}; F = {<1, a>; <1, c>; <1, d>; <2, b>; <2, c>; <3, a>; <3, d>; <4, b>; <4, c>}; W = {a, c, d, e}; Z = {I, II, IV, V, VI}; P = {<a, I>; <a, IV>; <a, V>; <c, II>; <c, IV>; <d, II>; <d, V>; <d, VI>; <e, I>} и произвольные множества A = {1, 2, 4} и B = {a, c, d}.

Найти:

a) Г • ;

б) ^-1 • Г^-1;

в) Г(А);

г) Г^-1(В);

4. Пусть задано произвольное соответствие Г = (X, Y, F) и множества А  X, B  X, C  Y, D  Y.

Доказать справедливость следующих тождеств:

a) Г(А  В)  Г(А)  Г(В);

б) Г(А) \ Г(В)  Г(А \ В);

в) Г^-1(С  D)  Г^-1(С)  Г^-1(D);

г) Г^-1(С) \ Г^-1(D)  Г^-1(С \ D).

Соответствие определяет связь между любыми объектами в природе и ее модели помогают решать оптимизационные задачи.

Если область прибытия соответствия совпадает с его областью отправления, то соотвествие преобразуется в отношение.

Совершенство только тогда совершенство, когда оно представляется достижимым только в бесконечности и когда поэтому возможность приближения к нему бесконечна.

Л. Толстой