2. Пустое множество не имеет собственных и истинных подмножеств.

3. Одноэлементное множество имеет два подмножества - сaмo себя и , т.Е. Не имеет собственных подмножеств.

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Отметим, что часть примеров, приведенных ниже, разработаны авторами, а часть взята из литературы, приведенной в списке.

Пример 1.1. Задано множество А = {a, b, c, d}. Какие из следующих высказываний являются истинными ?

а) aA; в) dA;

б) {a, b}A; г) {a, b, c, d}A.

Ответ: Высказывания aA и dA являются истинными, т.к. среди элементов множества А есть элементы a и d, высказывания {a, b}A и {a, b, c, d}A являются ложными, т.к. такие элементы не входят в множество А.

Пример 1.2. Перечислите элементы множеств:

а) A = {x | (y)(y{0, 1, 2} & x = y³)};

б) B = {x | xN & (y)(yN & x < y)};

в) C = {x | xN & (y)(yN  x  y)}.

Ответ: a) элементы множества А могут быть найдены вычислением третьей степени всех возможных значений y. Таким образом, A = {0, 1, 8}.

б) x и y - элементы множества натуральных чисел N и, каково бы ни было значение х, всегда можно в множестве N найти значение у, при котором будет выполняться условие x < y.

в) если х и у - элементы множества натуральных чисел N, то условие x  любого элемента множества N - будет выполняться только для одного значения х, равного 0. Следовательно, С = {0}.

Пример 1.3. Задать множества высказывательным способом:

а) A = {3};

б) P = {6, 7, 8, 9, 10};

в) В - множество четных целых чисел.

Ответ: а) один из возможных вариантов ответа A = {xN | (x + 2 = 5)};

б) Один из возможных вариантов ответа P = {x | xN & (x > 5 & x < 11)};

в) В = {x | xZ & (y)(yZ  x = 2y)}.

Пример 1.4. Определите, равны ли множества А и В, С и D, если A = {1, 2, 3, 4}; B = {4, 3, 2, 1}; C = {2, 3, 4, 5}; D = {3, 4, 5}.

Ответ: А = В, т.к. они содержат одни и те же элементы; С  D, т.к. множество С содержит элемент 2, не принадлежащий множеству D.

Пример 1.5. Пусть: A = {1, 7, 9, 15}; B = {7, 9}; C = {7, 9, 15, 20}.

Все ли следующие утверждения истинны?

а) B  C,	д) 15C,
б) B  A,	е){7, 9}B,
в) B  A,	ж) {7}  A,
г) A  C,	з)   C.

Ответ: Все утверждения, кроме е), истинны.

Пример 1.6. Доказать, что А  В, если A = {xN | x кратно 8}; B = {xN | x кратно 4};

Доказательство: Пусть х - произвольный элемент множества А. Мы должны показать, что х так же является элементом множества В, т.е. обладает свойством, характерным множеству В. Это означает, что х должно быть кратным 4. Поскольку х является элементом множества А, он обладает характерным свойством этого множества, следовательно, х кратно 8 и можно записать х = 8m для любого целого m. Это же выражение может быть записано в виде x = 24m или x = 4k, где k - четное целое число. Следовательно, х всегда кратен 4 и поэтому хВ, что и требовалось доказать.

Пример 1.7. Доказать, что А = В, если A = {xN | x² < 15}; B = {xN | 2x < 7};

Доказательство: Чтобы доказать, что А = В, необходимо доказать, что А  В, а затем, что В  А. Пусть хА, следовательно, х должно обладать характерным свойством множества А, т.е. должен выполняться условия: х² < 15 и хN. Этим двум условиям удовлетворяют следующие четыре значения х: 0, 1, 2, 3. Следовательно, только эти числа являются элементами множества А. Причем удвоенные значения любого элемента множества А меньше 7, т.е. каждый из них обладает характерным свойством множества В. Следовательно, А  В. Теперь докажем, что В  А. Любой элемент множества В должен быть положительным, а его удвоенное значение меньше 7. Множество В cоставляют следующие элементы: 0, 1, 2, 3. Квадрат любого из них меньше 15, следовательно, В  А. Таким образом, доказано, что А = В.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Что такое “множество”, “элемент множества”?

2. Какие существуют способы задания множеств? Привести примеры.

3. Приведите определение понятий простого и составного логического высказывания.

4. Перечислите основные операции над логическими высказываниями. Приведите примеры.

5. Что представляет собой квантор существования и квантор общности?

6. Какие множества называются равными?

7. Какие подмножества называются несобственными?

8. В чем отличие между “принадлежностью к множеству” и “включением в множество”?

9. Приведите способы задания множеств.

10. Отличаются ли множества А =  и А = {} и если “да”, то в чем состоит отличие.

11. Что такое строгое и нестрогое включение?

12. Как построить семейство подмножеств?

13. Сколько элементов содержит семейство подмножеств?

14. Приведите формулу подсчета числа подмножеств множества.

ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ

1. Задано множество S = {0, 4, 12, 31}. Какие из следующих высказываний являются истинными ?

а) 12S;	б) 0+31S;	в) 4+12S;
г) S;	д) {4}S;	е){0,4,12,31}S.

2. Записать произвольное одноэлементное множество, элементом которого является множество.

3. Привести примеры таких множеств A, B, C и D, что A  B, B  D, D  C, A  D, B  C.

4. Задать каждое из множеств с помощью перечисления:

а) A = {x | x  R & x² < 0};

б) B = {xN | 3 < x  7};

в) D = {x | x - месяц года, содержащий 30 дней};

г) C = {y | y - факультеты ТРТУ};

д) E = {xN | (y)(y{2, 3, 4, 5}  x > y)};

e) F = {x | (y)(z)(y{1, 2} & z{2, 3} & x = y + z)}.

5. Задать множества высказывательным способом:

a) A = {1, 4, 9, 16};

б) B = {2, 3, 5, 7, 11, 17};

в) C = {3, 5, 7, 9, 11, 13, 15};

г) D = {февраль};

д) F = {понедельник, вторник, среда, четверг, пятница}.

6. Запишите таблицы истинности основных операций над высказываниями и поясните их смысл.

7. Определить, равны ли множества А и В:

а) A = {a, b, c};	B = {b, c, a};
б) A = {a, b, {c}};	B = {b, c, a };
в) A = {{a, b, c}};	B = {a, b, c};
г) A = {{a, b, c}};	B = {{a}, {b}, {c}};
д) A = {a, b, c};	B = {{a}, {b}, {c}}.

8. Пусть A = {x  N | x > 5}; B = {10, 12, 16, 20}; C = {x | (y)(yN & x = 2y)}. Какое из следующих высказываний истинно?

а) B  C,	ж) B  A,
б) A  C,	з) 26C,
в) {11, 12, 13}  A,	и) {11, 12, 13}  C,
г) {12}B,	к) {12}  B,
д) {xN | x < 20}  B,	л) 5  A,
е) {}  B,	м) A.

9. Пусть A = {xR | x² - 4x + 3 = 0}; B = {xN | 1  x  4}. Доказать, что A  B.

10. Доказать или опровергнуть, что A = B, если A={xR | 2x = 5}; B={xR | x > 3}.

11. Привести пример множества, имеющего только несобственные подмножества.

12. Выбрать из элементов множества A = {a, x, {b, c}, , 5} несобственные элементы.

13. Записать семейство подмножеств пустого множества.

14. Записать семейство всех подмножеств множества A = {x, y, z, k} и B = {, {}}.

15. Задать множества A, B, C, удовлетворяющие следующим условиям:

а) AB, A  B; б) AB, A  C;

в) AB, A  B, A  C; г) AB, B  C;

д) AB, A  B; е) A  B, B  A.