1.2. Способы задания множеств

Существуют два основных способа задания множеств:

1) перечисление (перечислительный способ),

2) описание характеристического свойства (высказывательный способ).

Перечислительный способ состоит в составлении полного списка элементов множества, заключенного в фигурные скобки и применяется только для конечных множеств с небольшим числом элементов.

Например: A = {Меркурий, Венера, Земля, Марс, Юпитер, Сатурн, Уран, Нептун, Плутон} - это множество планет солнечной системы, B = {ФАВТ, РТФ, ФЭМП, ФЭП, ФИБ, ЕГФ} - это множество факультетов университета. В общем случае, этим способом множество А задается следующим образом: А = {a₁, a₂, a₃, a₄, ..., a_n} или А = {a_i}, где i  I = {1, 2, 3, 4, ..., n}.

Высказывательный способ состоит в задании такого свойства, наличие которого у элементов определенного множества является истиной. Запись A = {xM | P(x)} означает, что множество А состоит из элементов некоторого множества М, обладающих свойством Р.

Например: запись B = {xR | (x⁴ - 2x² - 3 = 0)} означает, что множество В состоит из действительных корней уравнения: x⁴ - 2x² - 3 = 0. Это же множество можно также задать перечислительным способом: .

Если из контекста понятно, какое множество М рассматривается, то высказывательную форму задания множества можно упростить в виде - A = {x | P(x)}. Последняя запись читается так: "Множество А таких элементов х, для которых высказывание Р(х) - истинно".

Конечное множество может быть задано обоими способами. Выбор способа задания зависит от дальнейшей работы с этим множеством. Бесконечные множества можно задать лишь высказывательным способом. Пустые множества относятся к конечным.

Если А - конечное множество, то через |A| обозначается количество его элементов и эту величину называют мощностью множества.

Мощность пустого множества равна нулю. Например, если множество А = , то его мощность равна нулю (|| = 0). Мощность одноэлементного множества равна единице. Например, для множества A = {9} имеем |A| = 1.

Если множества А и В содержат одни и те же элементы и мощности их равны, то эти множества считаются равными. Это обозначается так: А = В. Неравные множества состоят из различных элементов. Если в множестве А есть элементы, не принадлежащие множеству В, либо в множестве В имеются элементы, не принадлежащие множеству А, то множество А не равно множеству В. Неравенство множеств А и В обозначается: A  B.

Согласно определению множеств, следует, что порядок элементов в множестве несущественен. Следовательно, если А = {1, 2, 3, 4}, a B = {4, 3, 2, 1}, то А = В, т.е. А и В - одинаковые множества или одно и то же множество.

Из определения равенства множеств вытекает, что все пустые множества равны, т.е. существует только одно пустое множество.

Равенство множеств обладает следующими свойствами:

• А = А - рефлексивность;

• если А = В, то В = А - симметричность;

• если А = В и В = С, то А = С - транзитивность.

Запись A = {1, 2, 3, 2} не является множеством, т.к. содержит повторяющиеся элементы.

Отметим, что множества, которые содержат себя в качестве одного из своих элементов, называются экстраординарными. Остальные множества, не относящиеся к ним, называются ординарными.

Примером экстраординарного множества может служить множество абстрактных понятий, т.к. оно (множество) само является абстрактным понятием.

Например, множество планет солнечной системы, множество букв русского алфавита, множество денежных единиц являются ординарными множествами, т.к. первое множество не является планетой, второе - буквой, а третье - денежной единицей. Большинство рассматриваемых нами множеств являются ординарными.

Существуют некоторые множества, относительно которых неизвестно, пусты они или нет. Например, неизвестно, имеет ли положительное целочисленное решение уравнение xⁿ + yⁿ = zⁿ, при n > 2.