Глава 5.

Соответствие — это тройка множеств, первая компонента которой является графиком, вторая компонента является областью отправления графика и третья областью прибытия графика.

Композиция соответствий определяется через композицию их графиков.

Образом множества А при соответствии Г называется подмножество тех элементов области прибытия, которые соответствуют элементам множества А.

Прообразом множества В при соответствии Г называется множество тех элементов области отправления, каждому из которых соответствует какой-нибудь элемент множества В.

Соответствие называется функциональным, если его график функционален.

Соответствие называется инъективным, если его график инъективен.

Соответствие называется всюду определенным, если его область определения совпадает с его областью отправления.

Соответствие называется сюрьективным, если его область значений совпадает с его областью прибытия.

Соответствие называется биективным соответствием или биекцией, или взаимооднозначным соответствием, если оно функционально, инъективно, всюду определено и сюрьективно.

Отображением множества X в множество Y называется всюду определенное соответствие.

Функцией из множества X в множество Y называется соответствие, при котором каждый элемент множества Х связан с единственным элементом множества Y.

Функция F: X  X называется тождественной, когда множество Х отображается само в себя.

Функция всюду определена, когда для любого элемента множества Х всегда существует как минимум одно отображение.

Функция тогда и только тогда биективна, когда она всюду определена, сюрьективна и инъективна.

Функция F называется константной, если существует такой элемент bY, что график Ф = X  {b}.

Принцип Дирихле. Пусть f: X  Y – функция, причем X и Y – конечные множества. Если |X| > |Y|, то по крайней мере одно значение f встретится более одного раза.

Глава 6.

Множество всех целых чисел, натуральных, рациональных, неотрицательных и так далее чисел, является примером упорядоченных бесконечных множеств.

Интервалом (a, b) упорядоченного бесконечного множества Х называется множество всех элементов, лежащих между a и b.

Cегментом [a, b] упорядоченного бесконечного множества называется интервал, включающий два его конца, т.е. элементы a и b.

Два элемента a и b множества Х называется соседними, если интервал (a, b) — пустой.

Соответствием подобия называют взаимно однозначное отображение одного множества на другое, которое сохраняет порядок.

Сечением упорядоченного бесконечного множества называется разбиение этого множества на два непустых подмножества таких, что каждый элемент одного множества низшего класса всегда предшествует каждому элементу второго множества верхнего класса.

Cкачком называется сечение, в котором в нижнем классе есть наибольший элемент, а в верхнем классе есть наименьший элемент.

Дедекиндовыми сечениями называются сечения, в которых в нижнем классе нет наибольшего элемента, а в верхнем классе есть наименьший или наоборот.

Щелью называется сечение, при котором в нижнем классе нет наибольшего элемента, а в верхнем классе нет наименьшего элемента.

Cчетным множеством называется любое множество, равномощное натуральному ряду чисел.

Несчетным множеством называется любое множество, сводимое к множеству действительных чисел.

Множество мощности континуума (континуальное множество), называется множество, равномощное множеству действительных положительных чисел, не превосходящих единицы. Множества точек, расположенных на отрезках, получили название множества мощности континуума.

Проблема континуума заключается в попытке ответить на вопрос: существует ли промежуточное множество, у которого больше элементов, чем множество натуральных чисел, и меньше элементов, чем множество точек на прямой.

Антиномия - противоречия (парадоксы), возникающие в теории множеств.