8.2. Операции над нечеткими множествами

Рассмотрим основные операции над нечеткими множествами.

1) Дано множество Х и на нем заданы нечеткие множества = { < _А(х), x >, xX }, = { < _B(х), x >, xX }.

Объединением нечетких множеств называется выражение вида

 = { < _АB(х), x >, xX }.

Значение _АB находится согласно следующей формуле:

_АB = _А  _B.

А дизъюнкция находится по формуле (8.3).

Пример. Пусть задано множество Х = { x₁, x₂, x₃, x₄ } и нечеткие множества = { <0.1, x₁>, <1, x₃> }, = { <0.8, x₁>, <1, x₂>, <0.3, x₃>, <0.7, x₄> }. Тогда их объединение запишется  = {<0.8, x₁>, <1, x₂>,<1, x₃>,<0.7, x₄> }.

2)  — пересечение нечетких множеств, если:

 = { < _АB(х), x >, xX },

_АB = _А  _B

Причем выражение для конъюнкции вычисляется по формуле (8.2).

Пример. Пусть задано множество Х ={x₁,x₂,x₃,x₄} и нечеткие множества ={<0.1,x₁>,<1,x₃>}, ={<0.8,x₁>, <1,x₂>, <0.3,x₃>, <0.7,x₄>}. Тогда их пересечение запишется  ={< 0.1, x₁>, <0, x₂ >, <0.3, x₃>, <0, x₄>}.

3) Разность.

\ называется разностью нечетких множеств, если:

\ = { < _А\B(х), x >, xX },

_А\B = _А  _B

Согласно формулам (8.1) и (8.2) определяется _А\B.

Пример. Пусть задано множество Х = { x₁, x₂, x₃, x₄ } и нечеткие множества = { <0.1, x₁>, <1, x₃> }, = { <0.8, x₁>, <1, x₂>, <0.3, x₃>, <0.7, x₄> }. Тогда их разность запишется \ ={<0.1, x₁>,<0, x₂>,<0.7,x₃>,<0,x₄> }.

Симметрической разностью нечетких множеств и называется выражение вида

 = { < _АB(х), x >, xX },

где  — знак симметрической разности. Выражение для степени принадлежности определяется по формуле

_АB = _А\В  _B\А.

Пример. Пусть задано множество Х = { x₁, x₂, x₃, x₄ } и нечеткие множества = { < 0.1, x₁ >, < 0.7, x₂ > }, = { < 0.4, x₁ >, < 0.3, x₂ > }. Тогда степень принадлежности для описанных выше операций определятся

а) _А\В(x) = _A(x)  _B(x),

_А\В(x) = { < 0.1, x₁ >, < 0.7, x₂ > };

б) _B\A(x) = _B(x)  _A(x),

_A(x) = { < 0.9, x₁ >, < 0.3, x₂ > },

_B\A(x) = { < 0.4, x₁ >, < 0.3, x₂ > };

с) _АB(x) = { < 0.4, x₁ >, < 0.7, x₂ > }.

Пример. Пусть — нечеткое множество высоких людей, а — нечеткое множество красивых людей. Тогда  — это нечеткое множество или высоких, или красивых людей, или обоих вместе.

 — это нечеткое множество одновременно высоких и красивых людей.

 — это нечеткое множество невысоких людей.

\ — это нечеткое множество одновременно высоких и некрасивых людей.

 — это нечеткое множество одновременно высоких и некрасивых людей или одновременно красивых и невысоких.

8.3. Нечеткие отношения и соответствия

Рассмотрим понятия нечеткого соответствия и отношения.

Нечетким соответствием называют тройку множеств Г = < X, Y, F >, причем X и Y — это конечные четкие множества, а F — нечеткий график соответствия. Нечетким графиком называется множество, состоящее из нечетких упорядоченных пар (кортежей). Например, на множествах X = {1, 2}, Y = {a, b} может быть построен нечеткий график вида F = { <0.2, <a, 1>>, <0.9, <a, 2>>, <0.7, <b, 2>> }.

Нечеткие соответствия можно задавать в теоретико - множественном, матричном или графическом виде. В первом случае необходимо перечислить элементы X и Y и задать разбиение множества F в X x Y.

Представим вышеописанное соответствие в графическом виде (рис. 8.1).

Рис. 8.1. Пример графического задания нечеткого соответствия

Зададим теперь это же соответствие в матричном виде. Строки — элементы X, а столбцы элементы Y.

X\Y	1	2
a	0.2	0.9
b	0	0.7

Все три способа равнозначны и задают одно и то же нечеткое соответствие.

В нечетких соответствиях справедливы операции инверсии и композиции.

Инверсией нечеткого соответствия Г = < X, Y, F­ > называется соответствие Г^-1 = < Y, X, F­^-1 >, но Х в инвертируемом соответствии будет областью прибытия, а Y — областью отправления.

Композиция.

Даны два нечетких соответствия Г₁ = < X, Y, F₁ ­>, Г₂ = < Y, Z, F₂ ­>. Тогда два соответствия компонируют:

Г₁•Г₂ = < Х, Z, F₃ ­>.

Например. Пусть Г₁ = < {x₁, x₂, x₃}, {y₁, y₂}, {<x₁, 0.5, y₁>, <x₁, 0.1, y₂>, <x₂, 0.9, y₂>, <x₃, 0.4, y₂>} >. Графически это Г₁ представлено на рис. 8.2.

Рис. 8.2. Нечеткое соответствие Г₁

Пусть Г₂ = < {y₁, y₂, y₃}, {z₁, z₂, z₃}, {<y₁, 0.4, z₁>, <y₂ 0.8, z₂>, <y₃, 0.2, z₃>} >. Графически Г₂ представлено на рис. 8.3.

Рис. 8.3. Нечеткое соответствие Г₂

Соответственно в процессе композиции получим рис.8.4.

Рис. 8.4. Процесс композиции двух нечетких соответствий

При склеивании элементов из множества Y остаются стрелки с меньшим весом. Тогда окончательный результат композиции рис.8.5 будет: Г3 = Г1•Г2 = < {x₁, x₂, x₃}, {z₁, z₂, z₃}, {<x₁, 0.4, z₁>, <x₁, 0.1, z₂>, <x₂, 0.8, z₂>, <x₃, 0.4, z₂>} >.

Рис. 8.5. Результат композиции двух нечетких соответствий

Нечетким отношением на произвольном множестве Х называется выражение  = < X, Ф >, причем ФХхХ, ФХ².

Х — область задания отношения;

Ф — нечеткий график отношения.

Отметим, что нечеткое отношение является частным случаем нечеткого соответствия, у которого X = Y.

Нечеткие отношения также могут быть заданы в теоретико - множественном, матричном или графическом виде.

Например. Х = { a, b, c },  =< <0.2, <a, b>>, <0.1, <b, c>>, <0.9, <a, a>>, <0.7, <c, c>>, {a, b, c} >

В матричном виде:

		a	b	c
R =	a	0.9	0.2	0
	b	0	0	0.1
	c	0	0	0.7

В графическом виде рис.8.6:

Рис. 8.6. Пример графического задания нечеткого отношения

Для расплывчатых отношений и соответствий справедливы все теоретико - множественные операции на основе определенных формул.

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Пример 8.1. Пусть заданы нечеткие высказывания = 0.6; = 0.3. Найти их импликацию и эквивалентность.

Решение.  = min( max(1 - 0.6; 0.3); max(1 - 0.3; 0.6)) = min(0.4; 0.7) = 0.4

Ответ:  = max(1 - 0.6; 0.3) = 0.4.

Пример 8.2. Пусть задано составное нечеткое высказывание:

= ( &  &    & )  ( & & ), при том, что = 0.3; = 0.7; = 0.4.

Найти степень истинности этого составного нечеткого высказывания.

Решение. = max[1 - ( &  &    & ); 1 - ( & & )] = max[1 - ( min( , )  min( ; 1 - )  min(1 - ; )); 1 - min(1 - ; ; )] = max[1 - max( min( ; ); min( ; 1 - ); min(1 - ; )); 1 - min(1 - ; ; )] = max[1 - max(0.3; 0.3; 0.3); 1 - 0.4] = max[0.7; 0.6] = 0.7.

Ответ: Степень истинности нечеткого высказывания равна 0.7.

Пример 8.3. Заданы нечеткие множества = {<0.6; x₁>; <0.3; x₂>; <0.8; x₄>; <0.4; x₅>} и = {<0.2; x₂>; <0.5; x₃>; <0.7; x₄>; <0.9; x₅>} на множестве X = {x₁, x₂, x₃, x₄, x₅}.

Найти степень включения нечеткого множества в .

Решение. ( , ) = (0.6  0) & (0.3  0.2) & (0  0.5) & (0.8  0.7) & (0.4  0.9) = 0.4 & 0.7 & 1 & 0.7 & 0.9

Ответ: Степень включения нечеткого множества в равна ( , ) = 0.4.

Пример 8.4. Заданы нечеткие множества = {<0.4; x₁>; <0.7; x₂>; <0.2; x₄>; <0.9; x₅>} и = {<0.6; x₃>; <0.3; x₄>; <0.8; x₅>} на множестве X = {x₁, x₂, x₃, x₄, x₅}.

Найти пересечение, объединение и разность этих множеств, а также дополнение множества .

Ответ:  = {<0.2; x₄>; <0.8; x₅>};

 = {<0.4; x₁>; <0.7; x₂>; <0.6; x₃>; <0.3; x₄>; <0.9; x₅>};

\ = {<0.4; x₁>; <0.7; x₂>; <0.2; x₄>; <0.2; x₅>};

 = {<1; x₁>; <1; x₂>; <0.4; x₃>; <0.7; x₄>; <0.2; x₅>}.

Пример 8.5. Задать различными способами произвольное соответствие = (X, Y, ).

Решение:

а) Пусть заданы конечные множества X = {x₁, x₂, x₃, x₄}; Y = {y₁, y₂, y₃, y₄}; = {<0.3; <x₁; y₁>>; <0.2; <x₁; y₃>>; <0.4; <x₂; y₂>>; <0.6; <x₃; y₂>>; <0.1; <x₄; y₁>>; <0.8; <x₄; y₄>>}. Тогда можно сказать, что задано нечеткое соответствие = (X, Y, ) теоретическим способом.

б) То же соответствие, заданное матричным способом, будет иметь следующий вид:

,

где строки матрицы соответствуют элементам множества X, а столбцы – элементам множества Y. Элементы матрицы принимают значения, равные степени принадлежности элементов множества X  Y множеству .

в) Графический способ (рис. 8.7). Графически нечеткое соответствие может быть задано в виде ориентированного двудольного взвешенного графа, где вес ребра соответствует значению степени принадлежности элемента множеству .

Рис. 8.7. График соответствия

Пример 8.6. Заданы нечеткие соответствия = (X, Y, ) и = (Y, Z, ). График соответствия изображен на рис. 8.7, а график соответствия - на рис. 8.8. Найти композицию этих соответствий.

Рис. 8.8. График соответствия

Ответ: Композиция соответствий и показана на рис. 8.9.

Рис. 8.9. Результат композиции соответствий и

Пример 8.7. Задать произвольное нечеткое отношение .

Ответ: а) Теоретический способ. = (X, ); X = {x₁, x₂, x₃, x₄}; = {<0.4; < x₁, x₂>>; <0.7; < x₁, x₃>>; <0.2; < x₂, x₁>>; <0.5; < x₂, x4>>; <0.7; < x₃, x₂>>; <0.3; < x₃, x₄>>; <0.8; < x₄, x₂>>; <0.1; < x₄, x₃>>}.

б) Матричный способ.

Строки и столбцы матрицы соответствуют элементам множества X. Элементы матрицы принимают значение, равное степени принадлежности элементов множества X² множеству .

в) Графический способ. Графически нечеткое отношение может быть задано в виде ориентированного взвешенного графа (рис. 8.10), где вес ребра соответствует значению степени принадлежности элемента множеству .

Рис. 8.10. График отношения

Пример 8.8. Заданы нечеткие отношения = (X, )(рис. 8.10) и = (X, ) (рис. 8.11) Найти их объединение, пересечение и композицию.

Рис. 8.11. График отношения

Ответ:

а) Объединение (рис. 8.12).

Рис. 8.12. Результат объединения отношений и

б) Пересечение (рис. 8.13).

Рис. 8.13. Результат пересечения отношений и

в) Композиция (рис. 8.14).

Рис. 8.14. Результат композиции отношений и

Для работы с нечеткостями используется также теория приближенных множеств, разработанная З. Павлаком. Основное преимущество этой теории, что при работе с ней не требуется предварительных сведений о степени принадлежности элемента множеству (как в нечетких множествах) и т.п. Использование этой теории помогает исследовать и анализировать неточные знания. Они определяются приближенно в рамках заданного обучающего множества на основе понятий нижнего и верхнего приближений. Причем нижние приближения включают те элементы исходного множества, которые наверняка принадлежат понятию. Верхние приближения включают все элементы исходного множества, которые возможно принадлежат понятию. Промежуточные элементы между этими приближениями образуют граничную область. Она содержит элементы исходного множества, которые не могут быть классифицированы точно на основе исходных данных.

Пусть на обучающем множестве X введено отношение эквивалентности  = <Ф, X>, Ф  X  X. Здесь Ф – график отношения, X – область задания отношения. Упорядоченную пару Q = <, X> называют пространством приближений. Множество А = {Q₁, Q₂,…, Q_l},будем считать приближенным множеством.

Классы эквивалентности по отношению к  называют элементарными множествами в кортеже Q. Составным множеством в Q считается конечное объединение элементарных множеств в Q. Следуя Вагину В.Н. и др., все множество классов эквивалентности обозначим *(D) = {e₁, e₂, …, e_n}, где D – множество атрибутов.

Пустое множество является также элементарным для любого пространства приближений. Любое конечное объединение элементарных множеств в Q называется составным множеством.

Под нижним приближением множества X в Q будем понимать наибольшее составное множество в Q, содержащееся в X, а под верхним приближением X в Q — наименьшее составное множество в Q, содержащее X. Обозначим нижнее и верхнее приближения множества X в пространстве Q через Х и X соответственно. Множество Вп_р(Х) = X - Х будем называть границей X в Q.

Рассмотрим пример. Пусть задана следующая таблица 8.1.

Таблица 8.1

Фамилия	Сфера деятельности	Уровень доходов
Иванов	Управление	Высокий
Петрова	Торговля	Средний
Сидоров	Производство	Средний
Николаев	Наука	Низкий
Попова	Управление	Высокий

Положим D = {Сфера деятельности}, тогда обучающая выборка разбивается на четыре класса эквивалентности:

R*(D) = {{Иванов, Попова}, {Петрова}, {Сидоров}, {Николаев}}.

Здесь е₁ = {Иванов, Попова}, е₂ = {Петрова}, е₃ = {Сидоров}, е₄ = {Николаев}.

Любое объединение элементарных множеств называется составным множеством. Так, множество {е₂, е₃} = {Петрова, Сидоров} - составное множество.

Пусть в нашем примере X — класс людей с высоким доходом. Тогда

Х = {Иванов, Попова}

Х = {Иванов, Попова, Петрова, Сидоров}

Вп_Р(Х) = X - Х ={Петрова, Сидоров}.

Приближенные множества в основном используются для классификации объектов.

Два произвольных множества Y и Z приближенно равны снизу в Р, если равны их нижние приближения в пространстве Р: Y = Z.

Множества Y и Z приближенно равны сверху, если совпадают их верхние приближения: Y = Z.

Если два множества приближенно равны сверху и снизу одновременно, они называются приближенно равными и обозначаются как Y  Z.

Для приближенных множеств справедливы следующие выражения:

1. Y  Y  Y

2. 1 = l = 1

3. 0 = 0 = 0

4. (Y  Z) = Y  Z

5. (Y  Z) = Y  Z

6. Y = - (-Y)

7. Y = - (-Y)

Здесь 0 обозначает пустое множество, 1 обозначает все множество X.

Контрольные вопросы

1. Что такое нечеткое множество?

2. Привести способы задания нечеткого множества.

3. Что называется нечетким высказыванием? Привести примеры нечетких высказываний.

4. Как определяется степень истинности сложного нечеткого высказывания?

5. Как определяется степень включения двух нечетких множеств?

6. Как определяется операция дополнения нечеткого множества?

7. Как определяются операции объединения, пересечения, разности двух или более нечетких множеств?

8. Что называется нечетким соответствием?

9. Как определяются операции инверсии и композиции для нечетких соответствий?

10. Что называется нечетким отношением?

11. Как определяются операции над нечеткими отношениями?

12. Что такое приближенное множество?

13. Привести способы задания приближенного множества.

14. Приведите примеры приближенных множеств.

Задания для самостоятельной работы

1. Пусть задано произвольное четкое множество X = {0, 1, 2, ..., 10}. Задать нечеткие множества, соответствующие, по вашему мнению, понятиям “не много”, ”не мало”, ”средне”, ”очень мало”, ”очень много”, ”вполне достаточно”, ”не много и не мало”, ”не очень много и не очень мало”.

2. Пусть , , - нечеткие высказывания, причем = 0.3, = 0.8, = 0.1.

Определить степень истинности составного высказывания , если:

a) = (  )  ;

б) = (   ) &  ;

в) = (  )   ;

г) = ((   ) & (   ));

д) = ((   )  ) & ;

е) = ((  ) & (   )  ( &  ))  & & ;

3. Пусть заданы произвольные нечеткие множества:

= {<0.8; x₁>; <0.4; x₂>; <0.3; x₃>; <0.6; x₄>};

= {<0.7; x₂>; <0.6; x₃>; <0.2; x₄>; <0.1; x₅>}

на произвольном четком множестве X = {x₁, x₂, x₃, x₄, x₅}.

Найдите нечеткое множество , такое что:

а) =  ;

б) =   ;

в) = (   );

г) =  ;

д) =   ;

е) = (  );

ж) = \ ;

з) =  \  ;

и) = ( \  ).

4. Пусть задано нечеткое соответствие = (X, Y, ), где X = {x₁, x₂, x₃, x₄}, Y = {y₁, y₂, y₃, y₄, y₅}, = {<0.7,<x₁, y₂>>, <0.9,<x₁, y₅>>, <0.1,<x₂, y₁>>, <0.3,<x₂, y₂>>, <0.6,<x₂, y₃>>, <1,<x₃, y₄>>, <0.8,<x₄, y₂>>, <0.4,<x₄, y₃>>}.

Запишите матрицу инциденций R_, постройте граф соответствия .

5. Для нечетких соответствий = (X, Y, ) и = (Y, Z, ), где X = {x₁, x₂, x₃, x₄}, Y = {y₁, y₂, y₃, y₄, y₅}, = {<0.7, <x₁, y₂>>; <0.9, <x₁, y₅>>; <0.1, <x₅, y₁>>; <0.3, <x₂, y₂>>; <0.6, <x₂, y₃>>; <1, <x₃, y₄>>; <0.8, <x₄, y₂>>; <0.4, <x₄, y₃>>}, Y = {y₁, y₂, y₃, y₄}, Z = {z₁, z₂, z₃}, = {<0.6, <y₁, z₁>>; <0.3, <y₁, z₂>>; <1, <y₃, z₃>>; <0.8, <y₄, z₁>>}. Найти:

а) ^-1;

б) ^-1;

в)  ;

г) ^-1  ^-1.

6. Заданы нечеткие отношения = (X, ) и = (X, ), где X = {x₁, x₂, x₃, x₄, x₅}, = {<0.4, <x₁, x₂>>; <0.3, <x₁, x₃>>; <0.5, <x₁, x₅>>; <0.9, <x₂, x₁>>; <0.8, <x₂, x₃>>; <0.1, <x₃, x₂>>; <0.6, <x₃, x₃>>; <0.7, <x₅, x₁>>; <0.2, <x₅, x₂>>}, = {<0.3, <x₁, x₁>>; <0.9, <x₁, x₄>>; <0.1, <x₂, x₃>>; <0.4, <x₃, x₁>>; <0.5, <x₄, x₂>>}.

Найти их пересечение, объединение, инверсию и композицию.

7. На основе данных о прогнозе погоды на неделю (взять из интернета) построить примеры приближенных множеств для следующих действий :

1. путешествия;

2. занятия спортом на открытом воздухе;

3. строительство;

4. остаться дома.