Возможность многократного вхождения элементов в мультимножество создает новое качество и позволяет расширить класс описываемых, анализируемых и синтезируемых математических объектов.

Часто неясность происходит столько же от многословия, сколько и от излишней краткости.

Ж. Даламбер

8. Нечеткие множества

Понятие нечеткого высказывания, степень истинности нечеткого высказывания, функция принадлежности, операции над нечеткими высказываниями, определение и способы задания нечетких множеств, операции над нечеткими множествами, нечеткие отношения и соответствия

ЦЕЛИ

Освоив эту главу студенты должны:

• иметь понятия о нечетких множествах;

• уметь строить функцию принадлежности;

• определять степень истинности составных высказываний;

• уметь выполнять операции над нечеткими множествами и высказываниями;

• иметь понятие о нечетких отношениях и соответствиях и операциях над ними.

8.1. Нечеткие высказывания

В множествах можно однозначно указать, принадлежит или не принадлежит рассматриваемый элемент данному множеству. Следовательно, рассматриваемые выше множества имеют четкие границы, определяющие принадлежность или не принадлежность элемента множеству. В интеллектуальных системах часто нельзя провести четкую грань между принадлежностью и не принадлежностью элементов множеству. В этой связи возникло предположение описывать множества объектов с расплывчатыми границами принадлежности. Например, как определить понятие красоты, любви, удачи, счастья и других расплывчатых понятий. Л.Заде является основателем теории нечетких множеств. Он предложил ввести числовую меру описания расплывчатых понятий. Это дает возможность использовать существующий математический аппарат для описания, преобразования и исследования расплывчатых понятий.

Пусть задано произвольное непустое множество Х.

Х = {x₁, x₂, ..., x_n}. Множество называется нечетким или расплывчатым множеством в Х и обозначается = {<_А(x), x>}, xX.

В нечетком множестве каждый элемент есть кортеж длины два, первая компонента которого обозначается _А(х) и называется функцией принадлежности. Она задается на сегменте [0, 1]. Вторая компонента кортежа — элемент множества Х.

При задании множества каждому элементу х присваивается число 0  _А(х)  1. Это число и определяет степень принадлежности элемента х множеству .

Например, пусть задано некотрое множество X = { x₁, x₂, x₃, x₄ }. Тогда одним из возможных нечетких множеств на множестве Х будет множество = { < 0.1, x₁ >, < 1, x₂ >, < 0, x₃ >, < 0.8, x₄ >}.

Носителем нечеткого множества называется подмножество А  Х, содержащее те элементы из Х, для которых _А(х) > 0. Функция принадлежности для каждого нечеткого множества определяется субъективно. В настоящее время для нахождения функции принадлежности используют экспертные системы.

Рассмотрим нечеткие высказывания. Нечетким высказыванием называется предложение, относительно которого можно судить о степени его истинности или ложности.

Например, нечеткое высказывание: “2 — маленькое число”. Данное высказывание является субъективным. Если четкое множество Х на котором выбрано число 2 является – относительно большим, например, Х=100. Тогда нечеткое высказывание: “2 — маленькое число” является истинным. Если, например, Х=3, тогда рассматриваемое высказывание является ложным.

Нечеткое высказывание, равное 0.5, называется индифферентным, т.к. оно истинно в той же степени, что и ложно. Следовательно истинность нечеткого высказывания является субъективной характеристикой. Нечеткие высказывания бывают простые и составные. Составные образуются из простых с помощью логических операций: отрицания, дизъюнкции, конъюнкции, импликации и эквивалентности.

Отрицанием высказывания называется нечеткое высказывание не , степень истинности которого определяется по формуле:

 = 1 — . (8.1)

Символ  в данной главе используется для обозначения инверсии.

Конъюнкцией высказываний , называется нечеткое высказывание, степень которого определяется по формуле:

 = min (  ). (8.2)

Дизъюнкцией высказываний называется нечеткое высказывание, степень которого определяется по формуле:

 = max (  ). (8.3)

Импликацией высказываний называется нечеткое высказывание:

 = max (1 — , ). (8.4)

Из последнего выражения вытекает, что степень истинности не меньше, чем степень неистинности ее посылки или степень истинности ее следствия.

Эквивалентностью высказываний называется новое составное нечеткое высказывание обозначаемое:

 = min(max(1 - , ),max(1 - , )). (8.5)

Если степени истинности нечетких высказываний и одинаковы, то степень истинности эквивалентности лежит в сегменте [0.5, 1].

Пример.

Пусть = 0.7, = 0.4, = 0.9 и требуется найти степень истинности следующего составного нечеткого высказывания:

= (      )  (  ).

= max(1 — (      ), (  )) = = max((1—max(   ,   )), 1 —  ) = = max((1 — max(min( , 1 — ), min(1 — , ))), 1 — min( , )) = max((1 — max(min(0.7, 0.6), min(0.3, 0.4))), 1 — min(0.7, 0.9)) = max(1 — max(0.6, 0.3), 0.3) = max(0.4, 0.3) = 0.4.

При вычислении степени истинности данного составного высказывания использовались формулы (8.1) – (8.5).

Введем понятие степени включения нечетких множеств. Пусть задано множество Х и на нем нечеткие множества , . Тогда степень включения нечеткого множества в нечеткое множество обозначается ( , ) и определяется по формуле

( , ) =  (_А(х)  _В(х)).

хХ

Если ( , )  0.5, то считается, что нечеткое множество нестрого включается в .  . Если ( , ) < 0.5, то не включается в .

Например. Пусть на множестве Х = {x₁, x₂, x₃, x₄, x₅} заданы два нечетких множества = { < 0.3, x₂ >, < 0.7, x₃ >, < 0.9, x₄ > }, = { < 0.1, x₁ >, < 0.8, x₂ >, < 0.3, x₃ >, < 0.9, x₅> }. Тогда степень включения нечеткого множества в определяется следующим образом:

( , ) = (00.1)  (0.30.8)  (0.70.3)  (0.90)  (00.9) = 1  0.7  0.7  1  1 = 0.7. Следовательно,  .

Отметим, что степень включения одного нечеткого множества в другое может быть определена для любых двух нечетких множеств, при этом она может принимать любое значение от 0 до 1.