2.3. Разность множеств

В отличие от первых двух операций операция разности применима только к двум множествам.

Множество С называется разностью множеств А и В, если С состоит из тех элементов, которые одновременно принадлежат множеству А и не принадлежат множеству В:

С = А \ В,

где \ — знак разности.

Теоретико-множественная запись операции разности имеет следующий вид:

xC = A \ B  xA & xB,

что означает: элемент х принадлежит множеству С, если х принадлежит А и одновременно х не принадлежит множеству В.

Соответственно элемент х не принадлежит множеству С, если он не принадлежит множеству А или принадлежит множеству В:

xC = A \ B  xA  xB.

Например, заданы множества A = {1, 2} и B = {3, 8, 9}. Тогда разность между множествами A и B равна A \ B = {1, 2}, а разность между множествами B и A равна B \ A = {3, 8, 9}.

На рис. 2.6 приведены диаграммы Эйлера-Венна, иллюстрирующие операцию разности множеств A \ B, а также разности множеств B \ A.

Рис. 2.6. Пример операции разности множеств

Очевидно, что:

А \ А = ; А \ U = ; В \  = В;  \ А = .

Основные свойства операции разности множеств:

(A \ B) \ C = A \ (B \ C) = (A \ C) \ B - ассоциативноcть;
A \ B  A, B \ A  A.

Множество С называется симметрической разностью множеств А и В, если С состоит из тех элементов и только тех элементов универсального множества U, которые принадлежат множеству А и не принадлежат множеству В или принадлежат множеству В и не принадлежат множеству А:

С = А  В,

где  — знак симметрической разности.

Теоретико-множественная запись операции симметрической разности имеет следующий вид:

xC = A  B  (xA & xB)  (xВ & xА).

Например, заданы множества A = { 1, 2, 3, 8 } и B = { 3, 4, 8, 9 }. Тогда симметрическая разность A и B равна A  B = { 1, 2, 4, 9 }.

2.4. Дополнение множества

Множество называется дополнением множества А до некоторого универсального множества U, если оно состоит из элементов, принадлежащих множеству U и не принадлежащих множеству А. Теоретико-множественная запись операции дополнения имеет вид

x = U \ A  xU & xA,

x = U \ A  xU  xA.

На рис. 2.7 приведена диаграмма Эйлера-Венна, иллюстрирующая операцию дополнения множества А. Множество точек, расположенных в заштрихованной фигуре, образует множество .

Рис. 2.7. Пример дополнения множества А до универсального множества U

Основные свойства операции дополнения множества:

= A,
A  = U,
A  = ,
= ,
= U.

2.5. Тождества алгебры множеств

Применяя операции объединения и пересечения, разности и дополнения к множествам, можно составить из множеств алгебраические выражения.

Если два или несколько алгебраических выражений над одними и теми же множествами представляют одно и то же множество, то эти выражения можно приравнять друг к другу, получив алгебраическое тождество.

Основные тождества алгебры множеств:

Пусть А, В и С - произвольные подмножества семейства (U).