1.3. Подмножество

Различают два вида включений – строгое и нестрогое. Множество В является подмножеством множества А, если любой элемент множества В принадлежит множеству А. Говорят, что множество В нестрого включается в множество А, если выполняется одно из двух условий (В  А  А = В) ( — знак нестрогого включения). В этом случае также говорят, что множество А включает множество В или множество А является надмножеством множества В. На рис. 1 показан пример нестрогого включения. Здесь элементы множеств A, B представляются точками плоскости, расположенными внутри соответствующих прямоугольников.

Рис. 1.1. Два случая нестрогого включения множеств

Множество В строго включается в множество А, если одновременно выполняются два условия (В  А & А  В). В этом случае также говорят, что множество В является истинным подмножеством множества А, и обозначают А  В, где "" - символ строгого включения. Этим подчеркивают, что множество А содержит не только элементы множества В. Если множество В не включается в множество А, пишут В  А.

Теперь равенство множеств можно записать в теоретико-множественном виде:

А = В  А  В & В  А.

Очевидно, что для пустого множества справедливо   А,   А.

Приведем основные свойства включения множеств:

0. А  А - рефлексивность;

1. А  B & B  C  A  C - транзитивность;

2. A = B  A  B & B  А - равенство.

Из последнего свойства следует, что для того, чтобы доказать равенство двух множеств, достаточно доказать, что A  B, а затем, что В  А.

Определение истинного подмножества в высказывательной форме запишется следующим образом:

А  В  ((хА)(хB) & A  В)).

Приведем основные свойства строгого включения:

• А  А - антирефлексивность;

• - транзитивность;

• А  В  А  В - неравенство.

Любое непустое множество М включает, по крайней мере, два подмножества - пустое и само себя, т.е. М  М и   М. Доказательство этого утверждения следует из определения подмножества. Множества М и  называют несобственными подмножествами множества М, все остальные подмножества множества М называются собственными подмножествами.

Обычно все множества, с которыми имеют дело при рассуждениях, являются подмножествами некоторого универсального множества U.

Множество всех подмножеств множества М называется семейством подмножеств множества М и обозначается (M)(читается "Пэ от Эм"). Из определения семейства следует, что (М), М (М) и если В  М, то  В(М).

Если множество М содержит m элементов, то мощность семейства подмножеств множества М равна 2^m.

Например, подсчитаем, сколько подмножеств имеет конечное множество А = {a, b}. Так как n = 2, то семейство подмножеств содержит 2^m = 4 подмножества:

{a, b}; {a}, {b}, {}.

Для B = {a, b, c} семейство подмножеств равно 2^m = 8.

Если множество содержит n элементов, а его подмножество состоит из k элементов, то число k элементных подмножеств, называемых сочетанием из n по k, равно

,

где n! = 123…(n - 1)n.

ПРИМЕЧАНИЯ

1. Пустое множество является единственным подмножеством самого себя   .