Тема 3.2. Определенный интеграл
Понятие определенного интеграла
Рассмотрим функцию f(x) определенную на отрезке [a, b].
Разобьем отрезок [a,b]
на n элементарных
отрезков точками
На каждом отрезке
разбиения выберем некоторую точку
и положим
где i = 1, 2, …, n.
Сумму вида
будем называть интегральной суммой для функции f(x) на отрезке [a, b].
Для избранного разбиения отрезка [a,
b] на части обозначим
через
максимальную из длин отрезков
,
где i = 1, 2, …, n.
Определение. Пусть предел интегральной
суммы при стремлении
к нулю существует, конечен и не зависит
от способа выбора точек
и точек
.
Тогда этот предел называется определенным
интегралом от функции y
= f(x)
на [a, b],
обозначается
,
а сама функция называется интегрируемой
на отрезке [a, b],
т.е.
.
При этом число а – нижний предел, b – верхний предел; f (х) – подынтегральная функция, f (х)dx – подынтегральное выражение, а задача о нахождении – интегрированием функции f (х) на отрезке [a, b].
Свойства определенного интеграла
1.
Постоянный множитель можно выносить
за знак интеграла, т.е.
2.
Интеграл от алгебраической суммы двух
функций равен такой же сумме интегралов
от этих функций, т.е.
3.Если отрезок интегрирования разбит на части, то интеграл на всем отрезке равен сумме интегралов для каждой из возникших частей, т.е. при любых а, b, c.
Формула Ньютона-Лейбница
Теорема. Пусть функция f (х) непрерывна на отрезке [а, b] и F(x) – любая первообразная для f(х) на [а, b]. Тогда определенный интеграл от функции f(х) на [а, b] равен приращению первообразной и F(x) на этом отрезке, т.е.
Нахождение определенных интегралов с использованием формулы Ньютона-Лейбница осуществляется в два шага: на первом шаге, используя технику нахождения неопределенного интеграла, находят некоторую первообразную F(х) для подынтегральной функции f(х); на втором применяется собственно формула Ньютона-Лейбница – находится приращение первообразной, равное искомому интегралу. В связи с этим введем обозначение для приращения первообразной, которое удобно использовать при записи решений. По определению положим
Пример
1. Вычислить
методом сведения к табличному интегралу:
.
Пример
2. Вычислить определенный интеграл
Пример
3. Вычислить
методом замены переменной:
Пример
4. Вычислить
методом интегрирования по частям
Пример
5. Вычислить
Пример
6. Вычислить
Вычисление площади фигуры
Пусть функция y=f(x) неотрицательна и непрерывна на отрезке [a, b]. Тогда по геометрическому смыслу определенного интеграла площадь S под кривой y=f(x) на [a, b] численно равна определенному интегралу , т.е.
Пример: Найти площадь фигуры,
ограниченной линиями
Решение:
Искомая площадь S криволинейного треугольника OAB равна разности двух площадей:
S=SOABC–SOBC,
каждая из которых находится по геометрическому смыслу определенного интеграла.
Решая систему
,
получаем что точка В пересечения
прямой y=4 и
кривой
имеет координаты (2; 4).
Тогда
.