3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:
а) , , , .
Построим линии, ограничивающие фигуру.
– парабола, симметричная относительно оси оу, вершина (0;1).
– прямая, проходящая через точку (2;0), параллельная оси оу.
– аналитическое выражение оси ох.
– аналитическое выражение оси оу.
Построенная фигура является криволинейной трапецией с основанием на оси ох, поэтому её площадь вычисляется по формуле
.
,
,
.
Тогда
(кв. ед.).
б) , , , .
Построим линии ограничивающие фигуру.
– прямая; если
,
то
,
если
,
то
.
Прямая проходит через точки (0; 4), (8; 0).
– прямая, параллельная оси ох.
– прямая, параллельная оси ох.
– ось оу.
Фигура является криволинейной трапецией
с основанием на оси оу, поэтому
.
Тогда
(ед2).
в) Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями
.
Построим линии ограничивающие фигуру.
- парабола, симметричная относительно
оси OY.
Т.к.
,
то вершина
.
Координаты вершины также можно определить по формуле
- ось OX.
Найдем координаты точек пересечения графиков (рис.9) функций.
Т.о.
,
на этом отрезке функция
,
поэтому
.
.
Тогда
(ед2).
г) Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями
Построим линии, ограничивающие фигуру.
– парабола, симметричная относительно оси оу, вершина (0; 0).
– прямая, если
,
то
,
если
,
то
.
Найдём точки пересечения линий:
Т.о.
.
(ед2).
Приложение 1
к УМП по дисциплине
«____________________»
Задание для итогового контроля
Вид итогового контроля по дисциплине – тестирование.
Условия:
Количество тестовых заданий – 100.
Критерии оценивания:
91-100% правильных ответов – «отлично»
81-90% правильных ответов – «хорошо»
60-80 % правильных ответов – «удовлетворительно»
Тестовые задания
1. Символическое обозначение предела функции при х х0
а)
б)
в)
l
г)
2. 1-й замечательный предел имеет вид
а)
б)
в)
г)
3. Вычислите
а) 17
б) 16
в) 9
г) 15
4. Вычислите
а) 1
б) 4
в) 8
г) 2
5. Тот факт, что число А является пределом функции f(х) при х стремящемся к В записывается так
а)
б)
в)
г)
6. Найти
а)
б)
в)
г)
7. Найти
.
а) –10
б) –20
в) 30
г) 20
8. Найти
а)
б)
в)
г)
9. Найти
а)
б)
в)
г)
10. Найти
а) –6
б) 18
в) 6
г) –12
11. Чему равна производная 1?
а) 0
б) 1
в) х
г) а (число)
12. Назовите формулу, раскрывающую геометрический смысл производной.
а) y = kx + b
б)
в) y – y0=k(x–x0)
г) y = f(x)
13.
Вычислите
а) 18х2
б) 6х2
в) 0
г) 18х
14. Найдите
,
если
а)
б)
в)
г)
15. Найдите
если
а)
б)
в)
г)
16. Найдите
если
а)
б)
в)
г)
17. Дана
функция
.Найдите
производную f(х)
а)
б)
в)
г)
18. Найдите точку min функции y = x3 – 3x.
19. Найдите наибольшее значение функции y = 3x2 + 2x – 1 на отрезке[–2; 1].
20. Найдите коэффициент касательной к графику функции f (x) = 5x2 – 2x в точке x0 = 1.
а) 8
б) 3
в) 0
г) 9
21.
Выберите первообразную для функции
.
а)
б)
в)
г)
22. Какая
из данных функций не является первообразной
для функции
?
а)
б)
в)
г)
23. Найдите
общий вид первообразных для функции
.
а)
б)
в)
с)
24. Формула Ньютона-Лейбница имеет вид:
а)
б)
в)
г)
25. Вычислите
интеграл
.
а)
б)
в)
г)
26. Вычислите
интеграл
.
а)
б)
в)
г)
27. Вычислите
интеграл
.
а) 7
б) 9
в) –7
г) 9
28. Найдите
площадь фигуры, ограниченной линиями
.
а)
б)
в)
г)
29. Вычислить неопределенный интеграл:
а)
б)
в) нет решения
г)
30. Вычислить
неопределенный интеграл:
а)
б) нет решения
в)
г)
31. Вычисление интеграла равносильно вычислению
а) площади криволинейной трапеции, ограниченной линиями x = а, x = b, y = 0, y = f(x);
б) площади любой фигуры;
в) объёма тела, полученного вращением криволинейной трапеции, у которой x = а, x = b, y = 0, y = f(x);
г) объёма любой фигуры.
32. Формула численного интегрирования метода «левых» прямоугольников имеет вид:
а)
.
б)
.
в)
г)
.
33. Сущность метода Симпсона заключается в том, что через три последовательные ординаты разбиения проводится
а) квадратичная парабола;
б) любая кривая;
в) синусоида;
г) гипербола.
34. Методы численного интегрирования для вычисления применимы тогда, когда
а) невозможно определить первообразную F(x);
б) невозможно определить производную f(x);
в) неизвестен интервал интегрирования [а, b];
г) функция y = f(x) задана графически.
35. Наиболее грубым методом численного интегрирования является метод
а) прямоугольников;
б) трапеций;
в) парабол;
г) Симпсона.
36.
Формула численного интегрирования
метода трапеций имеет вид:
а)
б)
в)
г)
37. Необходимым условием применения формул Симпсона является: число точек разбиения должно быть
а) четным числом;
б) целым числом;
в) нечетным числом;
г) кратным «4».
38. Формула численного интегрирования метода Симпсона имеет вид
а)
;
б)
;
в)
;
г)
.
39. Если h - шаг интегрирования то, чем больше h тем
а) выше погрешность вычислений приближенного значение интеграла;
б) точнее получатся приближенное значение интеграла;
в) больше объем вычислений;
г) больше число точек разбиения.
40. Известно, что интегрируемая функция – линейная, область интегрирования [-1, 1], требуемая точность не менее 0,01, интегрирование производится методом трапеций. Какое минимальное количество шагов необходимо для достижения заданной точности?
а) 1
б) 200
в) 100
г) 400
41. Заранее известно, что функция описывается полиномом второй степени (квадратным уравнением). Укажите метод (из числа рассмотренных), который позволит вычислить определенный интеграл без погрешности (погрешность округления не учитывать).
а) метод Симпсона;
б) метод трапеций;
в) метод «левых» прямоугольников;
г) метод «средних» прямоугольников.
42. Предел
равен:
а) -4
б) 2
г)
д) 0
43. Предел
равен:
а)
б) -4
в)
г) 0
44. Предел
равен:
а)
б)
в) 0
г)
45. Предел
равен:
а) 0
б)
в) -2
г)
46. Предел
равен:
а)-
б)-1
в) 0
г) 2
47. Предел
равен:
а) 0
б)
в) -
г) 1
48. Предел
равен:
а)
б) 0
в)
в)
59. Предел
равен:
а)
б) 1
в) -1
г)
50. Предел
равен:
а) 1
б) -1
в)
г)
51. Предел
равен:
а)
б) 1
в) -1
г)
52. Предел
равен:
а) 1
б) -1
в)
г)
53. Предел
равен:
а) 1
б) -1
в) 2
г)
54. Предел
равен:
а) 0
б) -1
в)2
г) 1
55. Предел
равен:
а)
б) 2
в) -1
г)
56. Предел
равен:
а) 0
б) 2
в)
г) -1
57. Найти
предел:
по
правилу Лопиталя:
а) 1
б) -1
в) 0
г)
58. Предел
равен:
а) 0
б) 4
г) -3
д) -2
59. Предел
равен:
а)
б) 0
в) 4
г) -3
61. Предел
равен:
а)
б) 0
в) 4
г) -3
62. Найти
предел
:
а)
б)
в) 0
г)
63. Дифференциал
функции
равен …
а)
б)
в)
г)
64. Дифференциал
функции
равен …
а)
б)
в)
г)
65. Дифференциал
функции
равен …
а)
б)
в)
г)
66. Дифференциал
функции
равен …
а)
б)
в)
г)
67. Дифференциал
функции
равен
…
а)
б)
в)
г)
