Тема 2.2. Исследование функции с помощью производной Экстремум функции и интервалы монотонности

Функция у = f (х) называется возрастающей (убывающей) на промежутке X, если для любых верно неравенство

Теорема (достаточное условие возрастания функции). Если производная дифференцируемой функции положительна внутри некоторого промежутка X, то она возрастает на этом промежутке.

Рассмотрим два значения х₁ и х₂ на данном промежутке X. Пусть . Докажем,

Для функции f(x) на отрезке [х₁; х₂] выполняются условия теоремы Лагранжа, поэтому

,

где , т.е. принадлежит промежутку, на котором производная положительна, откуда следует, что и правая часть равенства положительна. Отсюда и

Аналогично доказывается другая теорема.

Теорема (достаточное условие убывания функции). Если производная дифференцируемой функции отрицательна внутри некоторого промежутка X, то она убывает на этом промежутке.

Геометрическая интерпретация условия монотонности функции приведена на рисунке 7.

Если касательные к кривой в некотором промежутке направлены под острыми углами к оси абсцисс (рис. 7а), то функция возрастает, если под тупыми (рис. 7 б), то убывает.

Р исунок 7 – Геометрическая интерпретация условия монотонности функции

Пример 1. Найти интервалы монотонности функции у = х² – 4х + 3.

Решение. Имеем Очевидно при х > 2 и у' < 0 при х < 2, т.е. функция убывает на интервале и возрастает на интервале где х₀= 2 — абсцисса вершины параболы.

Заметим, что необходимое условие монотонности более слабое. Если функция возрастает (убывает) на некотором промежутке X, то можно лишь утверждать, что производная неотрицательна (неположительна) на этом промежутке: т.е. в отдельных точках производная монотонной функции может равняться нулю.

Пример 2. Найти интервалы монотонности функции у = х³.

Решение. Найдем производную Очевидно, что у > 0 при . При х = 0 производная обращается в нуль. Функция же монотонно возрастает на всей числовой оси.

Экстремум функции

Определение 1. Точка х₀ называется точкой максимума функции f(х), если в некоторой окрестности точки х₀ выполняется неравенство

Определение 2. Точка х₁, называется точкой минимума функции f(х), если в некоторой окрестности точки х₁, выполняется неравенство

Значения функции в точках х₀ и х₁, называются соответственно максимумом и минимумом функции.

Максимум и минимум функции объединяются общим названием экстремума функции.

Экстремум функции часто называют локальным экстремумом, подчеркивая тот факт, что понятие экстремума связано лишь с достаточно малой окрестностью точки х_n. Так что на одном промежутке функция может иметь несколько экстремумов, причем может случиться, что минимум в одной точке больше максимума в другой, например, на рисунке 8

Наличие максимума (или минимума) в отдельной точке промежутка X вовсе не означает, что в этой точке функция f(х) принимает наибольшее (наименьшее) значение на этом промежутке (или, как говорят, имеет глобальный максимум (минимум)).

Необходимое условие экстремума: Для того чтобы функция у = f(х) имела экстремум в точке х₀, необходимо, чтобы ее производная в этой точке равнялась нулю ( ) или не существовала.

Точки, в которых выполнено необходимое условие экстремума, т.е. производная равна нулю или не существует, называются критическими (или стационарными).

Т аким образом, если в какой-либо точке имеется экстремум, то эта точка критическая. Очень важно, однако, заметить, что обратное утверждение неверно. Критическая точка вовсе не обязательно является точкой экстремума.

Рисунок 8 – Экстремумы функции f(х)

Пример 1. Найти критические точки функции и убедиться в наличии или отсутствии экстремума в этих точках:

а) б) в)

Решение:

а) Производная В точке х=0 и действительно в точке х=0 функция имеет экстремум.

б) Функция также возрастает на всей числовой оси по свойству степенной функции. Производная в точке х=0, , но экстремума в точке х=0 нет (см. рис. 9).

в) Функция также возрастает на всей числовой оси, производная при х=1 не существует, т.е. , но экстремума в этой точке нет (см. рис. 9).

Рисунок 9 – Графики функций

Таким образом, для нахождения экстремумов функции требуется дополнительное исследование критических точек. Иными словами, требуется знать достаточное условие экстремума.

Первое достаточное условие экстремума.

Теорема. Если при переходе через точку х₀ производная дифференцируемой функции у = f(х) меняет свой знак с плюса на минус, то точка х₀ есть точка максимума функции у = f(х), а если с минуса на плюс, – то точка минимума.

Схема исследования функции у = f(х) на экстремум.

1. Найти производную .

2. Найти критические точки функции, в которых производная или не существует.

3. Исследовать знак производной слева и справа от каждой критической точки и сделать вывод о наличии экстремумов функции.

4. Найти экстремумы (экстремальные значения) функции.

Пример 2. Исследовать на экстремум функцию

Решение.

1. Производная функции

2. Приравнивая производную к нулю, находим критические точки функции ; х₂ = 1. (Точек, в которых производная не существует, у данной функции нет – определена на всей числовой оси).

3. Нанесем критические точки на кривую прямую (см. рис. ).

Для определения знака производной слева и справа от критической точки выберем, например, значения и и найдем и следовательно, при всех и на интервале .

Аналогично устанавливаем, что и на интервале .

Согласно достаточному условию – точка минимума данной функции. В точке экстремума нет.

4. Находим

Второе достаточное условие экстремума

Теорема. Если первая производная дважды дифференцируемой функции равна нулю в некоторой точке х₀, а вторая производная в этой точке положительна, то х₀ есть точка минимума функции ; если отрицательна, то х₀ – точка максимума.

Пусть , а . Это значит, что f"(x) = (f'(x))' > 0 также и в некоторой окрестности точки х₀, т.е. возрастает на некотором интервале (а, b), содержащем точку х₀.

Но , следовательно, на интервале (а, х₀) , а на интервале (х₀, b) , т.е. при переходе через точку х₀ меняет знак с минуса на плюс, т.е. х₀ – точка минимума.

Аналогично рассматривается случай и .

Схема исследования на экстремум функции у = f(х) с помощью второго достаточного условия в целом аналогична схеме, приведенной выше (совпадают полностью пп. 1, 2, 4). Отличие в п. 3, устанавливающем наличие экстремума: здесь необходимо найти вторую производную и определить ее знак в каждой критической точке.