Раздел 2. Дифференциальное исчисление

Задания для самоконтроля

1. Вычислить производную функции:

а)

б)

в)

г)

д)

е)

.

ж) .

з)

.

и) .

к) .

л) .

м)

н) у = (х²+3)¹⁰

Это сложная функция. Пусть х² + 3 = u, тогда у = u¹⁰. Производная находится по формуле дифференцирования сложной функции:

у'=(u¹⁰)'=10u⁹ u'_x,

u'_x=(x²+3)' = 2x,

y'=10(x²+3)⁹2x,

y' = 20x(x²+3)⁹.

о) y = sin8x.

Пусть 8х = u, тогда у = sinu.

y' = (sinu)' = cosu·u'_x;

u'_x = (8x)' = 8

y' = cosu·8 или y' = 8cos8x

п) Найти производную функции

Пусть , тогда и

,

р) Продифференцировать функцию у= ln sinx

sin x = u, y = ln u, тогда

2.

а) Дана функция . Найти

б) Дана функция . Найти

3. Составить уравнение касательной к графику функции , проходящей через точку х₀=2.

Находим , затем

Тогда составим уравнение прямой

4. Исследовать функцию и построить ее график.

Решение.

1. Область определения .

2. Функция нечетная, так как и график ее симметричен относительно начала координат.

3. Вертикальных асимптот нет, так как функция определена при всех действительных значениях х.

4. Поведение функции в бесконечности:

В силу нечетности функции , т.е. прямая у =0 (ось абсцисс) – горизонтальная асимптота.

5. Экстремумы и интервалы монотонности:

при , т.е. критические точки х₁= –1, x₂=1. Знаки производной изображены на рисунке.

Таким образом, х = –1 есть точка минимума; х = 1 – точка максимума и

Функция убывает на интервалах и и возрастает на интервале .

6. Интервалы выпуклости и точки перегиба:

при х = 0 и Знаки второй производной изображены на рисунке 14.

Таким образом, функция выпукла вниз на интервалах и и выпукла вверх на интервалах и , а – точки перегиба.

7. f(0) = 0. Уравнение f(х) = 0 имеет единственное решение х = 0, т.е. график функции пересекает оси в начале координат (0; 0).

Г рафик функции изображен на рисунке.

Раздел 3. Интегральное исчисление

Задания для самоконтроля

1.Вычислите неопределенные интегралы:

а) = =

б) =

Таким образом,

=

Обычно все произвольные постоянные суммируют, результат обозначают одной буквой

С = , поэтому окончательно получаем

=

в) Интеграл табличный, поэтому можно переходить к непосредственному вычислению

г) Интеграл не табличный, поэтому преобразуем его. Так как , то умножив подынтегральное выражение на , получим

= = = =

д) Сделаем подстановку . Найдем дифференциал от обеих частей подстановки:

Следовательно,

=

Заменив t его выражением из подстановки, получим

=

е) Полагая

найдем

По формуле интегрирования по частям получаем:

=

ж) Положим , тогда , или .

Следовательно,

=

з) Положим

Тогда

Следовательно,

2. Вычислите определенные интегралы:

_а) =

б)

.

в) = .

г)

.

д) .

е) = .

ж)

з) Применяя формулу понижения степени, получаем

,

где = .

Следовательно, ,