Производная сложной функций

Пусть переменная y есть функция от переменной и (у = f(u)), а переменная u в свою очередь есть функция от независимой переменной х, т.е. задана сложная функция у = f [φ(х)].

Теорема. Если у = f(u) и u = φ(х) – дифференцируемые функции от своих аргументов, то производная сложной функции существует и равна производной данной функции по промежуточному аргументу и, умноженной на производную самого промежуточного аргумента по независимой переменной х, т.е.

Правило дифференцирования сложной функции может быть записано и в других формах: или

Пример 1. Вычислить производную сложной функции:

.

Пример 2. Вычислить производную сложной функции:

Производная обратной функции

Пусть у = f (x) – дифференцируемая и строго монотонная функция на некотором промежутке X. Если переменную y рассматривать как аргумент, а переменную х как функцию, то новая функция x=φ(y) является обратной к данной и непрерывной на соответствующем промежутке Y.

Теорема. Для дифференцируемой функции с производной, не равной нулю, производная обратной функции равна обратной величине производной данной функции. т.е.

Производные высших порядков

Производная от функции называется производной первого порядка. Но производная сама является функцией, которая также может иметь производную.

Определение. Производной п-го порядка называется производная от производной (n–1)-го порядка.

Обозначение производных: – второго порядка (или вторая производная), – третьего порядка (или третья производная).

Для обозначения производных более высокого порядка используются арабские цифры в скобках или римские цифры, например, …, или и т.д.

Выясним механический смысл второй производной. Выше было установлено, что если точка движется прямолинейно по закону s = s(t) (где s – путь, t – время), то представляет скорость изменения пути в момент t₀. Следовательно, вторая производная пути по времени есть скорость изменения скорости или ускорение точки в момент t₀.

Пример 1. Найти производные до п-го порядка включительно от функции у = ln х.

и т.д. Очевидно, что производная п-го порядка

Уравнение касательной к графику функции

Уравнение касательной к кривой у = f (х) в точке x₀ примет вид

Алгоритм составления уравнения касательной к графику функции

1. Обозначить абсциссу точки касания буквой x₀.

2. Вычислить f (х₀).

3. Найти и вычислить .

4. Подставить найденные числа x₀, f (х₀), в формулу

Пример 1. Составить уравнение касательной к графику функции в точке x=1.

Решение:

Воспользуемся алгоритмом, учитывая, что

1. x₀=1.

2.

3.

4. Подставим найденные числа в формулу.

;

y=2–x.

Ответ: y=2–x.

На рисунке 6 изображена гипербола , построенная прямая y=2–x.

Рисунок 6 – гипербола

Пример 2. К графику функции провести касательную так, чтобы она была параллельна прямой y=4x–5.

Решение. Чтобы провести касательную к функции необходимо найти составить ее уравнение. Искомая касательная должна быть параллельна прямой y=4x–5. Две прямые параллельны тогда и только тогда, когда равны их угловые коэффициенты. Значит, угловой коэффициент касательной должен быть равен угловому коэффициенту заданной прямой: k = 4, а .

Таким образом, значение x₀ мы можем найти из уравнения .

Имеем:

Из уравнения , т.е. , находим: x1=2, x2=-2. Значит, имеются две касательные, удовлетворяющие условию задачи: одна в точке с абсциссой 2, другая в точке с абсциссой -2.

Далее действуем по алгоритму.

1. x₁=2, x₂=-2.

2.

3.

4. Подставим значения x₁=2, в формулу и получим , т.е.

Подставим значения x₂ = –2, в формулу и получим , т.е.

Ответ: