Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке

Согласно теореме Вейерштрасса, если функция у = f(х) непрерывна на отрезке [а, b], то она принимает на нем наибольшее и наименьшее значения. Наибольшее или наименьшее значение функции может достигаться как и точках экстремума, так и в точках на концах отрезка.

Для отыскания наибольшего и наименьшего значений на отрезке рекомендуется пользоваться следующей схемой:

1. Найти производную .

2. Найти критические точки функции, в которых или не существует.

3. Найти значения функции в критических точках и на концах отрезка и выбрать из них наибольшее и наименьшее .

Пример 1. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке [0; 5].

Решение.

1.

2. , откуда критические точки и х₂ = 4.

3. Значение функции в критических точках f(2)=0, и на концах отрезка f(0)=4 и . Итак, ,

Замечание. Если функция у = f(х) непрерывна на интервале (а, b), то она может не принимать на нем наибольшее и наименьшее значения. В частном случае, если дифференцируемая функция на интересе (а, b) имеет лишь одну точку максимума (ши одну точку минимума), то наибольшее (ши наименьшее) значение функции совпадает с максимумом (ши минимумом) этой функции.

Например, на интервале (1; 2) функция у=х² – 6х + 5 имеет один минимум , следовательно, это и есть наименьшее значение функции . Заметим, что наибольшего значения данная функция на указанном интервале не имеет.

Выпуклость функции. Точки перегиба

Определение 1. Функция у = f(х) называется выпуклой вниз на промежутке X, если для любых двух значений из этого промежутка выполняется неравенство

Определение 2. Функция называется выпуклой вверх на промежутке X, если для любых двух значений из этого промежутка выполняется неравенство

Графики функций, выпуклых вниз и вверх, изображены на рисунке 10. Очевидно, что если функция выпукла вниз, то отрезок, соединяющий любые две точки графика, целиком лежит над графиком (см. рис. 10а), если – выпукла вверх, то весь такой отрезок целиком лежит под г рафиком функции (см. рис. 10 б).

Рисунок 10 – Графики функций, выпуклых вниз и вверх

Теорема. Функция выпукла вниз (вверх) на промежутке X тогда и только тогда, когда ее первая производная на этом промежутке монотонно возрастает (убывает).

Геометрический смысл теоремы состоит в том, что если возрастает (убывает) на промежутке X, то возрастает (убывает) угол наклона касательных к графику. Это и означает выпуклость функции вниз (вверх).

Используя условия монотонности, мы можем определить следующее достаточное условие выпуклости функции вниз (вверх).

Теорема. Если вторая производная дважды дифференцируемой функции положительна (отрицательна) внутри некоторого промежутка X, то функция выпукла вниз (вверх) на этом промежутке.

Если , то возрастает на промежутке X, следовательно, на основании предыдущей теоремы функция выпукла вниз на промежутке X. Аналогично рассматривается случай .

Определение. Точкой перегиба графика непрерывной функции называется точка, разделяющая интервалы, в которых функция выпукла вниз и вверх.

Из вышесказанного следует, что точки перегиба – это точки экстремума первой производной. Отсюда вытекают следующие утверждения.

Теорема (необходимое условие перегиба). Вторая производная дважды дифференцируемой функции в точке перегиба х₀ равна нулю, т.е.

Теорема (достаточное условие перегиба). Если вторая производная дважды дифференцируемой функции при переходе через некоторую точку х₀ меняет свой знак, то х₀ есть точка перегиба ее графика.

Нужно иметь в виду следующую геометрическую интерпретацию точек перегиба.

В окрестности точки х₁ функция выпукла вверх и график ее лежит ниже касательной, проведенной в этой точке. В окрестности точки х₂, на которой функция выпукла вниз, картина обратная – график лежит выше касательной. В точке же перегиба х₀ касательная разделяет график – он лежит по разные стороны касательной.

Следует отметить, что если критическая точка дифференцируемой функции не является точкой экстремума, то она есть точка перегиба.

Схема исследования функции на выпуклость и точки перегиба:

1. Найти вторую производную функции .

2. Найти точки, в которых вторая производная или не существует.

3. Исследовать знак второй производной слева и справа от найденных точек и сделать вывод об интервалах выпуклости и наличии точек перегиба.

4. Найти значения функции в точках перегиба.

Пример 1. Найти интервалы выпуклости и точки перегиба графика функции .

Решение.

1. .

2. .

при и (рис. 11).

Рисунок 11

3. на интервалах и , следовательно, на этих интервалах функция выпукла вниз; на интервале , следовательно, функция на нем выпукла вверх, а и есть точки перегиба.

4°. Значения функции в точках перегиба

Схема исследования функции с помощью производной

При исследовании функций и построении их графиков рекомендуется использовать следующую схему:

1. Найти область определения функции.

2. Исследовать функцию на четность – нечетность.

3. Найти вертикальные асимптоты.

4. Исследовать поведение функции в бесконечности, найти горизонтальные или наклонные асимптоты.

5. Найти экстремумы и интервалы монотонности функции.

6. Найти интервалы выпуклости функции и точки перегиба.

7. Найти точки пересечения графика с осями координат и, воз­можно, некоторые дополнительные точки, уточняющие график.

Пример 1. Исследовать функцию и построить ее график.

Решение.

1. Область определения , т.е. .

2. Функция четная, так как , и ее график симметричен относительно оси ординат.

3. Вертикальные асимптоты могут пересекать ось абсцисс в точках . Так как пределы функции при (слева) и при (справа) бесконечны, т.е.

и , то прямая х = 1 есть вертикальная асимптота. В силу симметрии графика f(х) х= –1 также вертикальная асимптота.

4. Поведение функции в бесконечности. Вычислим .

В силу четности имеем также , т.е. прямая у = – 1 – горизонтальная асимптота.

5. Экстремумы и интервалы монотонности.

Найдем при х = 0 и не существует при

Однако критической является только точка х₁ = 0 (так как

значения не входят в область определения функции). Поскольку при х<0 , а при х > 0 (рис. 11), то x = 0 – точка минимума и – минимум функции.

На интервалах функция убывает, на интервалах – возрастает.

6. Интервалы выпуклости и точки перегиба.

Найдем

Очевидно, что на интервале (–1, 1) и функция выпукла вниз на этом интервале. на интервале , и на этих интервалах функция выпукла вверх. Точек перегиба нет.

7. Точки пересечения с осями.

f(0) = 1, т.е. точка пересечения с осью ординат (0, 1).

Уравнение f(х) = 0 решений не имеет, следовательно, график функции не пересекает ось абсцисс.

График функции изображен на рисунок 12.

Рисунок 12 – График функции