Задания для самоконтроля

1. Вычислить производную функции:

а)	и)
б)	к)
в)	л)
г)	м)
д)	н) у = (х2+3)10
е)	о) y = sin8x
ж)	п)
з)	р) у = ln sinx

2.

а) Дана функция . Найти

б) Дана функция . Найти

3. Составить уравнение касательной к графику функции , проходящей через точку х₀=2.

4. Исследовать функцию и построить ее график.

Раздел 3. Интегральное исчисление Тема 3.1. Неопределенный интеграл Понятие первообразной, неопределенного интеграла

Определение. Функция F(х) называется первообразной функцией для функции f(х) на промежутке X, если в каждой точке х этого промежутка .

Н апример, – является первообразной для функции , так как .

Рисунок 13 – График кривой у = F(х)

По геометрическому смыслу производной есть угловой коэффициент касательной к кривой у = F(х) в точке с абсциссой х. Геометрически найти первообразную для f(х) – значит найти такую кривую у = F(х), что угловой коэффициент касательной к ней в произвольной точке х равен значению f(х) заданной функции в этой точке (см. рис. 13).

Следует отметить, что для заданной функции f(x) ее первообразная определена неоднозначно. Дифференцируя, нетрудно убедиться, что функции и вообще где C – некоторое число, являются первообразными для функции . Аналогично в общем случае, если F(x) – некоторая первообразная для f(х), то, поскольку , функции вида F(х) + С, где С – произвольное число, также являются первообразными для f(х).

Геометрически это означает, что если найдена одна кривая у = F(х), удовлетворяющая условию , то, сдвигая ее вдоль оси ординат, мы вновь получаем кривые, удовлетворяющие указанному условию (поскольку такой сдвиг не меняет углового коэффициента касательной в точке с абсциссой х) (см. рис. 13).

Теорема. Если F₁(х) и F₂(х) – первообразные для функции f(x) на некотором промежутке X, то найдется такое число С, что будет справедливо равенство F₂(х) = F₁(х) + С.

Из данной теоремы следует, что, если F(х) — первообразная для функции f(x), то выражение вида F(х) + С, где С – произвольное число, задает все возможные первообразные для f(х).

Определение. Совокупность всех первообразных для функции f(х) на промежутке X называется неопределенным интегралом от функции f (х) и обозначается , где – знак интеграла, f (х) – подынтегральная функция, f (х)dx – подынтегральное выражение. Таким образом,

где F(х) – некоторая первообразная для f (х), С – произвольная постоянная.

Например, поскольку – первообразная для функции f(х) = х², то

Операция нахождения неопределенного интеграла от некоторой функции называется интегрированием этой функции.

Свойства неопределенного интеграла.

1. Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции.

2. Дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению

3. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен этой функции с точностью до постоянного слагаемого.

4. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла:

5. Интеграл от алгебраической суммы двух функций равен такой же сумме интегралов от этой функции

Перечислим интегралы от элементарных функций, которые в дальнейшем мы будем называть табличными.