Метод трапеций

В этом методе отрезок [a; b] так же разбивается на n равных частей. На каждом отрезке [x_i; x_i₊₁] кривая y = f(x) заменяется прямой, проходящей через две известные точки с координатами и , где и строится прямоугольная трапеция с высотой (рис. 19).

Рисунок 19 – Геометрическая интерпретация метода трапеций

В итоге искомая площадь криволинейной трапеции приближенно заменяется суммой площадей элементарных геометрических трапеций. (Площадь трапеции с высотой h и основаниями a, b вычисляется по формуле: ). Из геометрических соображений понятно, что площадь такой фигуры будет, вообще говоря, более точно выражать площадь криволинейной трапеции, нежели площадь ступенчатой фигуры, рассматриваемая в методе прямоугольников.

Тогда

вынесем h за скобку, получим

разобьем каждую дробь на две дроби

приведем подобные слагаемые, получим

Итак, .

Коротко полученную формулу можно записать в виде (7).

(7)

Заметим, что в данном методе получаем ступенчатую фигуру, составленную из трапеций, которая «плотнее» прилегает к заданной криволинейной трапеции, нежели фигура, составленная из прямоугольников в предыдущем методе.

Метод парабол (Симпсона)

Значительное повышение точности приближенных формул численного интегрирования дает метод парабол (Симпсона). Идея метода исходит из того, что на частичном промежутке дуга некоторой параболы в общем случае теснее прилегает кривой y = f(x), чем хорда, соединяющая концы дуги этой кривой (метод трапеций). Поэтому значения площадей соответствующих элементарных трапеций, ограниченных сверху дугами парабол, являются более близкими к значениям площадей соответствующих частичных криволинейных трапеций, ограниченных сверху дугой кривой y = f(x), чем значения площадей соответствующих прямолинейных трапеций.

Рассмотрим функцию y = f(x). Будем считать, что на отрезке [a; b] она положительна и непрерывна. Найдем площадь криволинейной трапеции aABb (рис. 20).

Для этого разделим отрезок [a, b] точкой c = пополам и в точке C(c, f(c)) проведем касательную к линии y = f(x). После этого разделим [a, b] точками p и q на три равные части и проведем через них прямые x = p и x = q. Пусть P и Q – точки пересечения этих прямых с касательной. Соединив A с P и B с Q, получим три прямолинейные трапеции aAPp, pPQq, qQBb. Тогда площадь трапеции aABb можно приближенно посчитать по следующей формуле

где .

Откуда получаем

Рисунок 20 – Геометрическая интерпретация метода парабол

Заметим, что aA = f(a), bB = f(b), а pP + qQ = 2f(c) (как средняя линия трапеции), в итоге получаем малую формулу Симпсона

(8)

В данном случае дуга ACB заменяется параболой, проходящей через точки A, P, Q, B.

Малая формула Симпсона дает интеграл с хорошей точностью, когда график подынтегральной функции мало изогнут, в случаях же, когда дана более сложная функция, малая формула Симпсона непригодна. Тогда, чтобы посчитать интеграл заданной функции нужно разбить отрезок [a, b] на n частей и к каждому из отрезков применить формулу (8).

Обязательным требованием, вытекающим из геометрического смысла метода парабол, является то, что n должно быть четным. Пусть , точки деления будут х₀=а, x₁, x₂, …x_n-₂, x_n-₁, x_n=b, а y₀, y₁, …y_n – соответствующие значения подынтегральной функции на отрезке [a, b].