Численное дифференцирование на основе интерполяционной формулы Лагранжа

Следуя (1), будем дифференцировать многочлен Лагранжа (8) по x как функцию от t:

Согласно (3) x=x₀+ th, а также , получим окончательно:

(9)

Пользуясь формулой (9) можно вычислить приближенные значения производной функции f(x), если она задана на отрезке [a, b] значениями в равноотстоящих узлах (при этом параметр t пробегает значения от 1 до n). Аналогично могут быть найдены производные функции высших порядков.

Пример 2. Вычислить приближенное значение производной функции, заданной таблицей в точке x = 4.

x	3	4	5
f(x)	2	–1	6

Применяя формулу (9) получим (здесь n = 2, h = 1 ):

Учитывая, что узел x = 4 соответствует значению t =1 (т.е. ), получаем .

Если известно аналитическое выражение функции f(x), то формулу для оценки погрешности численного дифференцирования можно при этом же условии получить на основе формулы погрешности интерполирования:

₍₁₀₎

где ξ = ξ(x) – значение из отрезка [a, b] , отличное от узлов и x. Учитывая (2) и допуская, что f(x) дифференцируема n +1 раз, запишем:

₍₁₁₎

формула (11) значительно упрощается, если оценка находится для значения производной в узле x_i таблицы. В этом случае, учитывая (7), получаем:

₍₁₂₎

где ξ – промежуточное значение между . Обозначив

получим верхнюю оценку абсолютной ошибки численного дифференцирования в узлах:

(13)

Численное дифференцирование на основе интерполяционной формулы Ньютона

Запишем для функции f(x), заданной своими значениями в равноотстоящих узлах первый интерполяционный многочлен Ньютона:

Перепишем этот полином, производя перемножение скобок:

Дифференцируя по t , получим аналогично формуле (9):

(14)

Подобным путём можно получить и производные функции f(x) более высоких порядков. Однако, каждый раз, вычисляя значение производной f(x) в фиксированной точке x , в качестве x₀ следует брать ближайшее слева узловое значение аргумента.

Формула (14) существенно упрощается, если исходным значением xоказывается один из узлов таблицы. Так как в этом случае каждый узел можно считать начальным, то, принимая x=x₀, t =0, получаем:

(15)

Эта формула позволяет легко и достаточно точно получать значения производных функций, заданных таблично. Воспользуемся для иллюстрации функцией, производная которой (для сопоставления) может быть легко вычислена обычным способом.

Пример 3. Найти значение производной функции f(x) в точке x = 32 , используя таблицу 3. В данном случае h =1; применяя формулу (15) к данным первой строки таблицы (до разностей третьего порядка включительно), получим:

Сопоставляя полученный ответ со значением

замечаем совпадение значений в пределах двух знаков после запятой.

Используя формулу (10) применительно к первому интерполяционному многочлену Ньютона, запишем:

где ξ - некоторое промежуточное значение между узлами и заданной точкой x. Предполагая, что f(x) дифференцируема n+1 раз, получим для оценки погрешности дифференцирования r_n(x) (по аналогии с формулой (11)):

₍₁₆₎

Для случая оценки погрешности в узле таблицы (когда x = x₀ и t = 0 ) будем иметь удобный вид формулы (16):

На практике оценивать непросто, поэтому при малых h приближенно полагают:

что позволяет использовать приближенную формулу

₍₁₇₎