Задания для самоконтроля

1. Вычислить пределы

а) .	и)
б) .	з)
в) .	ж)
г) .	м)
д)	н)
е) .	о)
л)	п)
к)	р)

2. Исследовать непрерывность в точке х = 0 заданной функции: .

3. Исследовать функцию на непрерывность. Определить характер разрывов функции, если они существуют. Выполнить чертёж.

Раздел 2. Дифференциальное исчисление Тема 2.1. Производная функции Определение функции

Пусть функция у = f (х) определена на промежутке Х. Возьмем точку хХ. Дадим значению х приращение х0, тогда функция получит приращение у = f (х + х) – f(х).

Определение. Производной функции у = f (х) называется предел отношения приращения функции к приращению независимой переменной при стремлении последнего к нулю (если этот предел существует):

.

Производная функции имеет несколько обозначений: Иногда в обозначении производной используется индекс, указывающий, по какой переменной взята производная, например,

Нахождение производной функции называется дифференцированием этой функции.

Если функция в точке х имеет конечную производную, то функция называется дифференцируемой в этой точке. Функция, дифференцируемая во всех точках промежутка Х, называется дифференцируемой на этом промежутке.

Геометрический смысл производной

Задача о касательной. Пусть на плоскости Oxy дана непрерывная кривая у = f (х) и необходимо найти уравнение касательной к этой кривой в точке M₀(x₀; y₀).

Дадим аргументу x₀ приращение х и перейдем на кривой у = f (х) от точки M₀(x₀; f (х₀)) к точке M₁(x₀+х; f (х₀+х)). Проведем секущую М₀М₁.

Рисунок 5 – Геометрический смысл производной

Под касательной к кривой у = f (х) в точке М₀ понимается предельное положение секущей М₀М₁ при приближении точки М₁ к точке М₀, т.е. при х →0.

Уравнение прямой, проходящей через точку М₀, имеет вид y – f(x₀) = k (x – x₀).

Угловой коэффициент (или тангенс угла φ наклона) секущей может быть найден из M₀M₁N: Тогда угловой коэффициент касательной

Геометрический смысл производной: производная есть угловой коэффициент касательной, проведенной к кривой у = f (х) в точке x₀, т.е. k =

Тогда уравнение касательной к кривой у = f (х) в точке x₀ примет вид

Схема вычисления производной

Производная функции у = f (х) может быть найдена по следующей схеме:

1. Дадим аргументу х приращение и найдем наращенное значение функции

y + y= f (x + x).

2. Находим приращение функции y= f (x + x) – f (х).

3. Составляем отношение

4. Находим предел этого отношения при х →0, т.е. (если этот предел существует).

Правила дифференцирования

1. Производная постоянной равна нулю, т.е.

2. Производная аргумента равна 1, т.е.

3. Производная алгебраической суммы (разности_ конечного числа дифференцируемых функций равна такой же сумме производных этих функций, т.е.

4. Производная произведения двух дифференцируемых функций равна произведению производной первого сомножителя на второй плюс произведение первого сомножителя на производную второго, т.е.

Следствие. Постоянный множитель можно выносить за знак производной:

Следствие. Производная произведения нескольких дифференцируемых функций равна сумме произведений производной каждого из сомножителей на все остальные, например:

5. Производная частного двух дифференцируемых функций может быть найдена по формуле:

Таблица производных

1)	7)	13)
2)	8)	14)
3)	9)	15)
4)	10)	16)
5)	11)	17)
6)	12)

Пример 1. Вычислить производную функции :

Пример 2. Вычислить производную функции

Пример 3. Вычислить производную: