Табличные интегралы

Методы вычисления неопределенных интегралов

Метод сведения интегралов к табличным

Пример 1. Найти интегралы:

а) – запишем подынтегральную функцию в виде степенной (черта дроби показывает отрицательную степень) . Для вычисления воспользуемся вторым табличным интегралом при n= –4

Д ля вычисления интегралов в двух других случаях поступаем аналогично. Для того, чтобы записать корень в виде степени вспомним формулу

б) .

в) .

Пример 2. Вычислить интеграл: а) б)

а) Данный интеграл можно свести к табличному интегралу № 10. Для этого необходимо преобразовать подынтегральную функцию.

В знаменателе вынести за скобку число 9 и получить разность квадратов, тогда воспользуемся 10 табличным интегралом при получим

б) Интеграл аналогично можно свести к табличному интегралу, преобразовав знаменатель.

Т.к. , то используя 9 табличный интеграл при получим:

Метод разложения

Данный метод интегрирования, основан на применении 3 и 4 свойства неопределенного интеграла.

Пример 3. Используя метод разложения, найти интегралы а) б) .

Нахождение каждого из интегралов начинается с преобразования подынтегральной функции.

а) В данном интеграле возведем в квадрат числитель и каждое слагаемое числителя разделим на знаменатель.

При решении воспользовались 2 и 3 табличными интегралами.

б) Выделяя из дроби целую часть, получим: .

Тогда

При решении данного интеграла воспользовались методом сведения к табличным интегралам (9).

Метод замены переменной

Одним из основных методов интегрирования является метод замены переменной (или метод подстановки), описываемый следующей формулой:

, (1)

где х = (t) – функция, дифференцируемая на рассматриваемом промежутке. Данная формула (1) показывает, что переходя к новой переменной, достаточно выполнить замену переменной в подынтегральном выражении. Удачная замена переменной позволяет упростить исходный интеграл, а простейших случаях свести его к табличному.

Пример 4. Найти

Положим t = 1 – 2х, продифференцируем обе части равенства:

(*)

Обратим внимание на то, что в данном примере выполнили замену знаменателя и осталось заменить числитель. Необходимо dx выразить через dt. Из равенства (*) следует: .

При решении воспользовались 3 табличным интегралом. После вычисления интеграла, вернулись к прежним обозначениям.

Пример 5. Найти

При решении, воспользовались 6 табличным интегралом и перешли к прежним обозначениям.

Пример 6. Найти интегралы а) б)

В данных интегралах выполняем замену подкоренного выражения.

а)

б)

Пример 7. Вычислить: .

Пример 8. Найти а) ; б) ; в) .

а)

Обратим внимание на то, что под знаком косинуса стояло выражение 5х и в ответе мы получи коэффициент только в виде обратной дроби . Заметим, что данный интеграл является табличным.

Аналогично решаются остальные два интеграла, также являющиеся табличными.

б)

в) .

Метод интегрирования по частям

Пусть u = u(x) и v = v(x) – дифференцируемые функции, тогда справедлива формула

. (*)

Формула (*) называется формулой интегрирования по частям для неопределенного интеграла. При ее применении фиксируется разбиение подынтегрального выражения на два сомножителя (u и dv). При переходе к правой части формулы (*) первый из них дифференцируется (при нахождении дифференциала: ), второй интегрируется (  ).

Возможность применения формулы (*) связана с тем, дифференцирование может существенно упростить один из сомножителей (при условии, что интегрирование не слишком усложнит другой.)

Рассмотрим интегралы I типа

; ;

В данных интегралах выбирают u = P_n(x), а за dv – оставшийся множитель.

Пример 9. Найти

Выполняем замену u = 2x+3 и dv = sin7xdx, необходимо найти du и v.

du = d(2x+3) = 2dx,

тогда, получим

Рассмотрим интегралы II типа.

; ; ;

;

В данных интегралах выполняют замену dv = P_n(x), а за u = оставшийся множитель.

Пример 10. Найти

В данном интеграле делаем замену u= lnx и dv = x²+3, найдем du и v.

. См. таблицу производных.

, тогда

Замечание. При решении интегралов возможно применение формулы интегрирования по частям два и более раз, в тех случая, когда в интегралах I типа многочлен P_n(x) второй и выше степени.

Пример11. Найти

Возникший интеграл не является табличным, однако, видно, что по сравнению с исходным интегралом степень переменной х в подынтегральном выражении уменьшилась на единицу, при этом второй сомножитель cosx того же типа, что в исходном интеграле. Повторное применение формулы интегрирования по частям приводит к табличному интегралу. Применим формулу интегрирования по частям к интегралу .

Подставим получившийся результат в решение данного интеграла, и получим