Задания для самоконтроля

1. Вычислите неопределенный интегралы:

а)	д)
б)	е)
в)	ж)
г)	з)

2. Вычислите определенные интегралы:

а)	д)
б)	е)
в)	ж)
г)	з)

3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:

а) , , , .

б) , , , .

в) .

г) .

Раздел 4. Численные методы

4.1. Численное дифференцирование Особенность задачи численного дифференцирования

Когда производную аналитически заданной функции по причине ее сложности искать затруднительно, либо выражение для производной приобретает слишком неудобную для применений форму, используют приближенное, или численное, дифференцирование. Этот метод тем более необходим, если исходная функция задана таблично. Один из способов решения задачи дифференцирования – использование интерполяционных многочленов.

Пусть f(x) – функция, для которой нужно найти производную в заданной точке отрезка [a, b], а F_n(x) – интерполяционный многочлен для f(x), построенный на отрезке [a, b]. Заменяя f(x) интерполяционным многочленом F_n(x), получим значение производной f(x) на отрезке [a, b] как значение производной интерполяционного многочлена, т.е. примем приближенно

(1)

Аналогичным путём можно поступать при нахождении значений производных высших порядков функции f(x). Полагая, что погрешность интерполирования определяется формулой

R_n(x)= f(x) – F_n(x)

получаем подход к оценке погрешности производной :

(2)

т.е. погрешность производной интерполируемой функции равна производной от погрешности этой функции.

Заметим, однако, что задача численного дифференцирования является некорректной. Дело в том, что погрешность производной интерполяционного многочлена может существенно превышать погрешность самой интерполяции. Из рисунка 1 хорошо видно, что даже незначительное отличие (в том числе и совпадение) значений f(x) и F_n(x) никак не гарантирует близости значений их производных и ( и – касательные к кривым f(x) и F_n(x) соответственно). Рассмотрим методы численного дифференцирования на основе интерполяционных многочленов Лагранжа и Ньютона

Интерполяционная формула Лагранжа для равноотстающих узлов

Применяя для численного дифференцирования на отрезке [a, b] интерполяционный полином, естественно строить на этом отрезке систему равноотстоящих узлов , которыми отрезок делится на n равных частей: (i = 0,1, 2,..., n − 1). В этом случае шаг интерполирования имеет значение

h = (b − a)/n,

а интерполяционный многочлен Лагранжа (как и интерполяционные многочлены Ньютона) строится на равноотстоящих узлах и имеет более удобный вид. Примем подстановку:

(3)

с учётом представления:

получим новые выражения для . Учитывая, что согласно принятому обозначению

и используя (3), последовательно находим:

т.е. в общем случае:

(i = 0,1, 2,..., n) (4)

Используя (4), получаем:

С целью сокращения записей введём обозначение

тогда выражение принимает вид:

(5)

Учитывая, что при постоянном шаге имеет место

(i = 0,1, 2,..., n)

последовательно находим:

(6)

…………………………

.

Заметим, что в (6) ровно n строк ( i-я строка отсутствует), причём значения разностей из первых i строк положительны, а остальных – отрицательны. Используя (6), получаем:

т.е.

(7)

С учётом представлений (5) и (7) формула Лагранжа (лекция №5, (9)) для равноотстоящих узлов принимает вид:

(8)

Пример 1. Составить интерполяционный многочлен Лагранжа для функции, заданной своими значениями на равноотстоящих узлах (n=2, h = 1):

x	2	3	4
f(x)	4	-2	6

Узловые табличные значения функции (4; -2; 6) получаются по этой формуле соответственно при t = 0; 1; 2.