Кинематические характеристики вращательного движения твердого тела

Рассмотрим такие характеристики как — угол поворота, — угловая скорость, — угловое ускорение тела. Вектор угла поворота определяется с помощью правила правого бурав­чика, направление поступательного движения острия которого указывает направление вектора , если рукоятка вращается в сторону движения точки по окружности. Векторы, связанные с направлением вращения, называются псевдовекторами или ак­сиальными векторами. Эти векторы не имеют определенной точки приложения, они могут откладываться из любой точки оси вращения.

Аксиальный вектор угловой скорости определяется как производная от угла поворота по времени, а угловое ускорение как призводная угловой скорости по времени

(13)

Размерности этих величин в системе СИ есть

| = рад (радиан), | = рад/с, | = рад/с².

Основной закон динамики вращательного движения (аналог второго закона Ньютона)

Рассмотрим вращение твердого тела вокруг закрепленной оси, проходящей через тело. Тогда имеем:

Угловое ускорение твердого тела прямо пропорционально мо­менту силы, действующей на тело, и обратно пропорционально моменту инерции этого тела

(14)

Если в формуле (14) произвести замену а, М F, I т, то очевидно получим второй закон Ньютона в его классической формулировке. Формула (14) показывает, что момент инерции тела описывает инертные свойства тела при вращательном дви­жении.

Выведем формулу (14). Рассмотрим силу F_i, действую­щую на одну из i-ых материальных точек, составляющих те­ло (рис. 7). Разложим эту силу на три составляющих F_i = + F_iвр + F_i||. Здесь — параллельна оси, — перпен­дикулярна оси и проходит через ось, F_iвр — перпендикуляр­на двум другим составляющим и, следовательно, плоскости ри­сунка. Очевидно, что именно последняя из рассмотренных со­ставляющих и будет вращать материальную точку вокруг оси. Применяя второй закон Ньютона, получим

F_iвр = m_ia_i (15)

Умножая (15) слева векторно на г_i и учитывая, что а_i- = , г_i = r_ie_i, где — единичный вектор, направленный по каса­тельной к окружности, по которой движется материальная точ­ка, е_r — единичный вектор в направлении r_i , найдем

М_i = r_{i *} F_iвр = m_ir_{i *} а_i = _* = I_{i *} . (16)

Здесь I_i — момент инерции материальной точки. Поскольку в нашем случае вектор направлен вдоль оси ОО' (ось z), то (16) можно переписать в форме:

М_i=I_i . (17)

Рис. 7. Рис. 8.

Выполнив в (17) суммирование по всем точкам материального тела, получаем

(18)

Очевидно (18) дает другую форму записи основного закона (14).

Кинетическая энергия вращающегося тела

Обратимся опять к рисунку 7. Пусть теперь тело вращается вокруг оси с угловой скоростью = | |. Тогда очевидно, что кинетическая энергия i-ой материальной точки

где v_i = r_i. Суммируя по всем материальным точкам, соста­вляющим тело, имеем

(19)

Формула (19) описывает кинетическую энергию тела с непо­движной осью вращения. Если же тело одновременно участвует как в поступательном, так и во вращательном движениях, его кинетическая энергия равна сумме кинетических энергий, свя­занных с этими движениями

(20)

Здесь v — скорость движения центра масс тела.