2. Закон Био-Савара-Лапласа

В 1820 году Жан Батист Био, профессор Парижского уни­верситета, и Феликс Савар, военный хирург, произвели ряд опы­тов по изучению магнитного поля, создаваемого при протекании тока по проводникам различной формы. Теоретически обобщив результаты опытов Био и Савара, Пьер Симон Лаплас, пред­седатель Палаты мер и весов, Член Парижской АН, получил в дифференциальной форме выражение для напряженности поля, создаваемого элементом тока. Под элементом тока понимают произведение тока / на элемент длины dl проводника (I • dl).

Рассмотрим проводник произвольной формы с током I, элемент которого dl создает в некоторой точке А напряженность магнитного поля dH (рис. 4).

Закон Био-Савара-Лапласа имеет следующий вид:

Напряженность магнитного поля dH, создаваемого элементом проводника с силой тока I на расстоянии r от него, прямо про­порциональна элементу тока Idl, синусу угла а между dl и r, и обратно пропорциональна квадрату расстояния r.

В векторной форме этот закон можно записать следующим образом:

Направление вектора dH, перпендикулярного к плоскости, про­ходящей через данную точку и элемент тока и совпадающей с касательной к силовой линии в данной точке, можно найти по правилу буравчика.

Полная напряженность Н, согласно исследованиям Лапла­са, может быть вычислена как векторная сумма (суперпозиция) dH, создаваемых отдельными участками тока. Если проводник целиком расположен в одной плоскости, то напряженности dH от всех участков имеют одинаковое направление, и поэтому гео­метрическое суммирование сводится в этом случае к алгебра­ическому суммированию, т.е. к интегрированию. Тогда закон Вио-Савара-Лапласа примет вид:

Знак (l) показывает, что интегрирование проводится по всей дли­не проводника.

Применение формулы (4) к проводникам разной конфигу­рации дает частные случаи интегральной формы закона Био-Савара-Лапласа.

Напряженность поля в центре кругового витка

Ток протекает по круговому проводнику радиуса R (рис. 5). Учитывая, что а = 90°, sin а = 1, l = 2πr, r = R, I и R — постоянные величины, в соответствии с формулой (4):

Таким образом, напряженность магнитного поля в центре круго­вого витка выражается формулой

Напряженность поля прямолинейного проводника с током

Обозначим через R расстояние от проводника с током I до точки О, в которой определяется напряженность поля (рис. 6).

Выделим в проводнике элементарный участок dl на рассто­янии r от точки О. Так как для всех элементарных участков проводника сила тока I имеет одно значение, то полная напря­женность магнитного поля в точке О, согласно формуле (4) равна

Из точки О проведем радиусом г отрезок дуги АВ = r ∙ da. Вви­ду малости участка dl, а следовательно, и угла da, можно счи­тать, что отрезок АВ прямолинеен, а углы равны соответственно углу ABC = 90° и углу BCA = а. Тогда из ∆ ABC получим r ∙ da = dl-sin a, откуда

Вводя последнее выражение в формулу (6) и переходя от инте­грирования по длине к интегрированию по углу а в пределах от a₁ до а₂, получим

или окончательно

Формула (7) позволяет рассчитывать магнитное поле прямоли­нейного проводника с током конечной длины. Если проводник бесконечен, то a₁ → 0, а a₂ → 180°; тогда cos a₁ = 1, а cos a₂= -1. Подставим эти значения в формулу (7):

Полученная формула (8) выражает напряженность магнитного поля бесконечного прямолинейного проводника с током на рассто­янии R от проводника.