Дифракция Френеля

Рассмотрим дифракцию Френеля или дифракцию сферических волн от простейших преград.

Если непрозрачный экран (рис. 3) с вырезанным в нем кру­глым отверстием открывает целое число m зон Френеля, то ре­зультирующая амплитуда в точке Р

где знак плюс соответствует нечетному числу зон Френеля, а ми­нус — четному. Следовательно, при нечетных т амплитуда в точке Р приближенно равна А₁ если число зон мало и в этой точке наблюдается максимум интенсивности I (рис. 3). При чет­ном числе зон А ≈ О, так как для малого отверстия А₁ ≈ А_т и наблюдается минимум интенсивности.

Если число зон велико, то А_т « А₁ и результирующая ам­плитуда А = А₁, т.е. дифракционная картина не наблюдается. При малом числе зон на экране (рис. 3) наблюдается дифракци­онная картина, имеющая вид чередующихся светлых и темных концентрических колец. На рис. 3 изображено распределение ин­тенсивности I (r) для случая m = 3, когда в центре, т.е. в точке Р, находится максимум интенсивности.

Если непрозрачный круглый диск закрывает m зон Френеля, то амплитуда в точке Р согласно (4):

Выражение в скобках примерно равно нулю и

Можно показать, что дифракционная картина имеет вид череду­ющихся светлых и темных концентрических колец. В центре кар­тины расположено светлое пятно (пятно Пуассона), послужившее важным доказательством волновой природы света во время дис­куссии между сторонниками корпускулярной и волновой теории света в начале 19 века. Но наблюдение дифракционной картины возможно, если размеры диска соответствуют малому числу зон Френеля (при a = b=1м и λ = 500 нм радиус 4-ой зоны r₄ = 1 мм).

Дифракция Фраунгофера

Дифракция Фраунгофера или дифракция в параллельных лу­чах наблюдается, если источник света находится далеко от экра­на, либо если точечный источник поместить в фокусе собираю­щей линзы, установленной за препятствием (рис. 5)

1. Дифракция от одной щели. Рассмотрим дифракцию Фраун­гофера от длинной щели (ширина щели а намного меньше ее дли­ны). Пусть монохроматическая плоская волна распространяет­ся в направлении, перпендикулярном плоскости щели и экрана (рис. 5). В точке О возникает максимум интенсивности, обра­зованный лучами, распространяющимися в первоначальном на­правлении (в соответствии с законами геометрической оптики).

Для лучей, распространяющихся под углом φ к первоначаль­ному направлению от крайних точек щели М и N, оптическая

разность хода составляет

Разобьем волновую поверхность MN на зоны Френеля. Ширина каждой зоны должна быть выбрана так, чтобы разность хода от ее краев составляла λ/2. Далее, используя метод зон Френеля (9), легко видеть, что при четном числе зон наблюдается дифрак­ционный минимум в точке O₁:

Если число зон Френеля нечетное, то наблюдается дифракцион­ный максимум:

На рис. 5 приводится зависимость интенсивности I дифракцион­ной картины от sin φ. Основная часть световой энергии сосре­доточена в центральном максимуме (m = 0). При сужении щели центральный максимум становится шире и яркость его умень­шается. При а > λ A sin φ → 0, и имеет место прямолинейное распространение света.

2. Дифракционная решетка. Дифракционная решетка — это система из большого числа одинаковых щелей, разделенных оди­наковыми непрозрачными промежутками. Дифракционная кар­тина в этом случае определяется как результат интерференции волн, идущих от всех щелей, т.е. осуществляется многолучевая

интерференция. Рассмотрим дифракционную решетку (рис. 6). Пусть ширина каждой щели а, а ширина непрозрачных проме­жутков b. Величина d = а+b называется постоянной (периодом) дифракционной решетки. Плоская монохроматическая волна па­дает нормально к плоскости решетки.

Разность хода лучей, идущих от двух соседних щелей (на­пример, из точек М и N на рис. 6), равна

Если фазы колебаний в точках М и N совпадают (∆φ = 2π, ∆l = тλ), то действие одной щели усиливает действие другой щели в соответствии с условием интерференционных максимумов. Это дает условие главных максимумов дифракционной картины:

Кроме этого наблюдаются минимумы и максимумы (10,11), свя­занные с дифракцией от каждой щели в отдельности. Расчеты показывают, что если дифракционная решетка содержит N ще­лей, то условием главных минимумов является (см. (10))

а условием дополнительных минимумов

где т’ принимает все целые значения, кроме О, N, 2N, 3N,..., так как при этих значениях выполняется условие (13). Между двумя главными максимумами располагаются N — 1 дополнительных минимумов.

Положение главных максимумов зависит от длины волны λ (рис. 7), число т в (13) определяет номер дифракционного мак­симума, причем m ≤ d/λ, sinφ ≤ 1. При пропускании света, где присутствуют разные длины волн, все максимумы, кроме цен­трального, раскладываются в спектр. Поэтому дифракционные решетки используются для спектрального анализа (определения длин волн и интенсивности спектральных линий). Дифракцион­ная решетка должна удовлетворять условию d ~ λ. Современ­ные дифракционные решетки содержат около 2000 штрихов на 1 мм (d ≈ 0,5 мкм).

Дифракция света наблюдается на трехмерных (простран­ственных) решетках, в качестве которых могут служить кристал­лы, а также в мутных (неоднородных) средах.

Явление дифракции определяет границы разрешающей спо­собности оптических приборов. Изображение светящейся точ­ки даже в случае идеальной оптической системы представляет дифракционную картину (чередование темных и светлых колец вокруг центрального светлого пятна).

Изображения двух одинаковых точечных источников соглас­но критерию Релея разрешимы, если центральный максимум ди­фракционной картины от одного источника совпадает с первым минимумом дифракции для второго источника (рис. 4). Соответствующий расчет для круглого отверстия дает, что первый минимум отстоит от центра дифракционной картины на угловое расстояние

где D — диаметр отверстия, B частности, D может являться диа­метром объектива, и тогда условие (16) определяет разрешающую способность объектива

которая может быть увеличена только за счет уменьшения длины волны используемого излучения или за счет увеличения диаме­тра объектива D.

Разрешающая способность спектрального прибора R определяется величиной ∆λ минимальной разности длин волн спектральных линий (λ и λ + dλ), при которой эти линии регистрируется раздельно.

Для дифракционной решетки

где т — порядок дифракционного максимума, а N — полное чи­сло щелей решетки. Разрешающая способность дифракционных решеток может достигать величины порядка 10⁵.

Лекция № 35