Элементы квантовой механики. Частица в одномерной потенциальной яме Корпускулярно-волновой дуализм

В 1923 году французский физик-теоретик Луи де Бройль распространил идею о двойственности природы света на вещество, предположив, что частица (например, электрон) должна обладать не только корпускулярными, но и волновыми свойствами. Он предложил формулу для определения длины волны, соответ­ствующей микрообъекту:

Здесь λ — длина волны де Бройля, h — постоянная Планка, р — импульс частицы.

Формула де Бройля позволила понять и правильно описать такие явления, как дифракция электронов, протонов, нейтронов и других микрочастиц. Опыты, проведенные К. Лэвисоном вместе со своим сотрудником Л. Джермером в 1927 году, привели к экспе­риментальному доказательству явления дифракции электронов на кристалле. В этом же году подобные опыты независимо были выполнены и Дж.Томсоном.

Простая формула де Бройля представляла собой крупный шаг в познании Природы. Она перевернула существовавшие ра­нее представления о материи. Возникает вопрос —что же такое микрообъект Ответ на него можно дать таким образом: это более сложное образование, чем представлялось ранее; он обла­дает как волновыми, так и корпускулярными свойствами. Про­являет он те или другие свойства в зависимости от того, с чем и как взаимодействует.

Второй законный вопрос, который возникает: какова физическая природа волны де Бройля? Оказалось, что нет такого физического поля, волной которого являлась бы волна де Брой­ля. Это волна чисто математическая. Волна де Бройля это вол­на вероятности. Для более строгого рассмотрения этих вопро­сов понадобилось ввести понятие волновой функции. Это было сделано в 1926 году австрийским физиком-теоретиком Эрвином Шредингером, работавшим в то время профессором Цюрихского университета.

Общее нерелятивистское уравнение Шредингера

Это уравнение играет в микропроцессах такую же фунда­ментальную роль, как законы Ньютона в классической механике. Шредингер ввел в аппарат физической теории новое понятие — волновую функцию ψ (x, y,z,t), Перечислим свойства этой функ­ции.

1. Физический смысл этой функции заключается в том, что квадрат модуля волновой функции дает нам плотность вероятности обнаружить частицу в данной точке пространства:

где dp — вероятность обнаружить частицу в объеме dV.

2. Условие нормировки. Вероятность обнаружить частицу хотя бы в одной из точек бесконечного пространства, очевидно, равна единице. Математически это записывается в виде

Здесь интегрирование ведется по объему всего бесконечного пространства.

3. ψ — однозначная, конечная и непрерывная функция своих аргументов.

4. Производные от ψ-функции по ее аргументам должны быть непрерывны.

В общем случае функция ψ удовлетворяет уравнению Шредингера

Здесь ∆ = д²/ дх² + д²/ду² + д²/ дz² — оператор Лапласа, m — масса частицы, ħ = h/(2π), i — мнимая единица, W_noт — потенци­альная энергия частицы. Решая уравнение (3) и используя усло­вия (1)-(4), можно с необходимой точностью определить значение волновой функции в любой точке пространства в данный момент времени.