Потенциальная энергия взаимодействия системы зарядов

Р анее мы определили, что потенциальная энергия двух за­рядов характеризует работу, совершаемую внешними силами по перемещению заряда q₀ из бесконечности на расстояние r до за­ряда q.

Если система состоит из трех зарядов, то ее полная потен­циальная энергия будет равна работе внешних сил по перемеще­нию всех трех зарядов из бесконечности в место их расположения (рис. 2).

Работа по сближению зарядов q₂ и q₁ определяется выражением:

Чтобы перенести заряд q₃ из бесконечности в точку, находящу­юся на расстоянии r₁₃ от q₁ и на расстоянии r₂₃ от q₂, требуется совершить работу, равную благодаря суперпозиции электриче­ских взаимодействий сумме двух работ: одна из которых необ­ходима для переноса q₃ в указанную точку, если имеется только один заряд q_1, а другая требуется для переноса q₃ в эту точку при наличии только одного заряда q₂

Следовательно, потенциальная энергия, определяемая полной работой, затраченной на образование указанного расположения трех зарядов (рис. 2), равна:

Этот результат можно обобщить на любое количество зарядов. Если мы имеем N различных зарядов, любым образом располо­женных в пространстве, то электрическая потенциальная энер­гия системы вычисляется путем суммирования по всем парам,

Знак двойной суммы означает следующее: возьмите j = 1 и сум­мируйте по к = 2,3,4.. N; затем возьмите j = 2 и суммируйте по к = l,3,4…V, и т.д. до j = N. Ясно, что при этом каждая па­ра войдет в сумму дважды, поэтому перед знаком суммы стоит множитель 1/2.

Электрический потенциал

Напряженность электрического поля численно равна силе, действующей на единичный заряд. Аналогично электрический потенциал численно равен потенциальной энергии единичного заряда. Электрический потенциал обозначается символом ц>. Итак, если в некоторой точке "а" точечный заряд q обладает потенциальной энергией W_a, то электрический потенциал в этой точке

Реально мы измеряем только изменение потенциальной энергии, соответственно фактически можно измерить лишь разность по­тенциалов между двумя точками. Если работа электрического поля при перемещения заряда из точки 1 в точку 2 есть А₁₂, то для разности потенциалов можно написать

Единицей электростатического потенциала (и разности потенци­алов) является джоуль на кулон (Дж/Кл). Этой единице присво­ено наименование вольт (В). 1В = Дж/Кл. Разность потенци­алов часто называют электрическим напряжением.

Связь между электрическим потенциалом и напряженностью электрического поля

Рассмотрим вначале эту связь для случая однородного элек­трического поля, например, поля между пластинами с разностью

где d — расстояние между точкой о и точкой b вдоль силовой ли­нии. Приравняв эти выражения для работы, находим величину напряженности электрического поля Е:

Из полученного равенства видно, что напряженность элек­трического поля можно измерять как в вольтах на метр (В/м), так и в ньютонах на кулон (Н/Кл). Эти единицы эквивалентны

Однако практически всегда для измерения напряженности элек­трического поля используется В/м.

Чтобы перейти к общему случаю неоднородного электриче­ского поля, вспомним соотношение между силой F и потенциаль­ной энергией W, обусловленной этой силой. Разность потенци­альных энергий в двух точках пространства а и b дается формулой

где dl — бесконечно малое перемещение, а интеграл берется вдоль произвольной траектории между точками а и b. В слу­чае электрического поля нас более всего интересует разность не потенциальных энергий, а потенциалов (7):

Напряженность электрического поля Е в любой точке простран­ства определяется отношением силы к заряду Е = F/q. В резуль­тате при делении правой и левой частей равенства (9) на заряд q получаем соотношение:

Это и есть общее соотношение, связывающее напряженность электрического поля с разностью потенциалов.