Көпмүшелі статистикалық мәнділігін тексеру

Көпмүшелі модельдің статистикалық мәнділігін тексеру үшін түрлі көрсеткіштер алынады, олардың ішінде ерекше орын алатыны t-Стьюдент критериі және F-Фишер критериі.

Көпмүшелі модельдің сенімділігін(мәнділігін) талдау үшін Стьюдент және Фишер критерилерінің ерекшеліктерін қарастыратын.

Көпмүшелі корреляция коэффициентінің маңыздылығын тексеру үшін t-критериінің есептелген мәні анықталады(tp):

(2)

Ол сәйкес кестелік мәнімен салыстырылады. Кестелік мән Х=n-p-1 еркіндік дәрежесі мен р сенімді ықтималдық үшін белгіленеді.

Егер tp>tт- онда көпмүшелік корреляция жоғы мәнді.

Егер tp<tт- онда көпмүшелік корреляция коэффициенті мәнсіз.

Таза регрессия коэффициентінің мәнділігі келесі жолмен табылады: t- критериінің есептелген шамасы келесі формула бойынша анықталады:

(3)

мұндағы (4)

– қарапайым теңдеулер жүйесі матрицасына қарағанда диоганальды элемент матрицасына кері.

Егер , онда і-ші пропорционалдық коэффициентінің мәні таңдаулы регресси теңдеуінде модельдегі регрессия коэффициентінен аса ерекшеленбейді.

Егер , онда коэффициентінің сенімділігін жеткіліксіз деп есептейміз, ал сәйкес факториялды көрсеткішті регресси теңдеуіндегі айнымалылар қатарынан алып тастау.

Керек жағдайда белгілі t_T және бойынша таза регрессия коэффициенті үшін сенімді зонаны есептеуге болады. Есептеу келесі формула бойынша орындалады:

(5)

мұндағы, және - сенімді ықтималдылықтағы регрессия коэффициентінің сәйкес жоғары және төменгі мәндері.

Сенімділік зонасының шеаралары генералды жиынтықтағы айнымалылардың өзара байланысын көрсететін пропорционалдық коэффициенті бола алатын шектегі мәндердің диапазонын анықтайды.

Көпмүшелік регрессия теңдеуін бағалау үшін F- Фишер критериін қолдану ұсынылады. Оның есепті мәне жалпы және қалдық дисперсияның қатынасындай анықталады:

(6)

егер бұл есептелген шама F k₁=n-1 және k₂=n-р еркіндік дәрежесімен р сенімді ықтималдылық үшін кестелік шамадан F_t көп болса, онда көпмүшелік модель статистикалық мәнді болып табылады. Егер F< F_t, онда модель мәнді емес.

Мысал: Өнім өткізу көлемін болжау үшін модельді құру

Өнім өткізу көлемін барлық статистикалық мәнді модельдердің ішінен болжау үшін «ең жақсы» модельді таңдау процедурасын келесі мысалдың көмегімен қарастырайық:

Үлкен кәсіпорынның басшылығы өзінің бұрыннан бар сауда маркаларын өткізу көлемін болжау үшін модель құруға көңіл бөлдіреді.

Келесі мәліметтер жиналады:

№1-кесте.

Күні	6-айға өнім өткізу көлемі млн. тг.	Жарнама млн.тг.	Бір өлшемнің бағасы	Бәсеке баға бір өлшемге	Тұтыну шығындарының индексі
1997ж. қаңтар-маусым шілде-желтоқсан	126 137	4,0 4,8	15,0 14,8	17,0 17,3	100,0 98,4
1998ж. қаңтар-маусым шілде-желтоқсан	148 191	3,8 8,7	15,2 15,5	16,8 16,2	101,2 103,5
1999ж. қаңтар-маусым шілде-желтоқсан	274 370	8,2 9,7	15,5 16,0	16,0 18,0	104,1 107,0
2000ж. қаңтар-маусым шілде-желтоқсан	432 445	14,7 18,7	18,1 13,0	20,2 15,8	107,4 108,5
2001ж. қаңтар-маусым шілде-желтоқсан	367 367	19,8 10,6	15,8 16,9	18,2 16,8	108,3 109,2
2002ж. қаңтар-маусым шілде-желтоқсан	321 307	8,6 6,5	16,3 16,1	17,0 18,3	110,1 110,7
2003ж. қаңтар-маусым шілде-желтоқсан	331 345	12,6 6,5	15,4 15,7	16,4 16,2	110,3 111,8
2004ж. қаңтар-маусым шілде-желтоқсан	364 384	5,8 5,7	16,0 15,1	17,7 16,2	112,3 112,9

1-қадам.

Өткізу көлемін болжау үшін «ең жақсы» модельді анықтаймыз.

Берілгендерді қарастыру. 6- ай уақыттағы өнім өткізу көлемі тәуелді айнымалы. Бізде бес тәуелсіз айнымалы (Х) бар, оның төртеуі – жарнамаға кеткен шығындар, тауар бағасы, бәсекелік баға және тұтыну шығындарының индексі. Бесінші айнымалы – уақыт, бірінші период үшін- қаңтар- маусым 1997ж. – период 2 және т.б. 16 соңғы периодқа дейін, маусым-желтоқсан 2004ж.

Барлық тәуелсіз айнымалы мен тәуелді және әр тәуелсіз айнымалы үшін жұп корреляция коэффициентін есептейміз.

Факторлар арасындағы корреляциялық байланысты келесі формула бойынша анықтайды:

немесе

(7)

Бұл екі тәуелсіз айнымалылардың(факторлардың) соңғы модельге қосылуы аз ықтималдылықта. Баға және конкуренттік баға айнымалылары да модельге қосылды ақ ықтималды-корреляция коэффициенті 0,7-ге тең. Бұл жағдайды екінші қадамда орындағанда ескереміз.

2 қадам. Барлық статистикалық мәнді модельдерді табу

Мәнді модельдерді табу үшін кері әдісті қолданамыз, яғни зерттеу модельге барлық бес тәуелсіз айнымалыларды қосып модельді құрудан басталады.

Бес айнымалы үшін модель мына түрде болады:

Өнім өткізу= (уақыт)+ (жарнама)+ (баға)+ (бәсекелік баға)+ (индекс) (9)

Компьютерде осы модельдің параметрлерін есептеуге болады:

(10)

Ең алдымен F- критериі арқыыл модельдің жалпы мәнділігін анықтаймыз.

Тәуелді айнымалының саны - 5

Жиынтықтағы берілгендер саны - 16

Еркіндік дәрежесінің саны (n-2)=16-2=14 және (n-1-p)=16-1-5=10

Компьютер екі көрсеткіш есептелді: қалдық және жалпы дисперсия, ол мынаған тең және

Сонда Фишер критериінің мәні F:

F=28271/1736=16,3

Стандартты үлестіру кестесінен К₁=14 және К₁=10 еркіндік дәрежесі мен 0,95 сенімді ықтималдылық үшін F_Т-Фишер критериінің кестелік мәнін табамыз: F_t=3,326 16,3>3,326, сондықтан біз нәтижені жоғары сенімділікпен алдық.

Модель F-Фишер критериі бойынша сенімді, ал бұл модельдің статистикалық мәнділігін тексеру үшін бұл модельдегі әр регрессия коэффициентінің сенімділігін тексеру керек.

Регрессия коэффициентінің әр мәнін тексерейік: кмпьютерде немесе (3) нормасы бойынша барлық керекті t- критериін есептейміз және (10) могдельдегі 5 айнымалы үшін мәнділігін тексерудің нәтижелерін келесі кестеге жалпылаймыз.

Әр тәуелсіз айнымалының өнім өткізуге(көрсеткішке) әсер күшін анықтау үшін арасындағы жұп корреляция коэффициентін келесі формулалармен анықтайды:

немесе

(8)

мұндағы, j_t және e_it – айнымалылардың алғашқы мәндерден тегістелген мәндерінің ауытқулары.

Көпмүшелік модельдің параметрлерін табэу үшін тенденцияларды алып тастау әдісін қолдануға болады.

Жұп корреляцияның есептелген коэффициенттері №2 кестеде берілген.

(7) формуланың көмегімен мультиколлинеарлықтың барлығын анықтаймыз. Мультиколлинеарлық (факторлар арасындағы тығыз корреляциялық байланыс) әр фактордың көрсеткішке әсерін бағалауды қиындатады. Егер корреляция коэффициенті 0,8-ден үлкен болса, онда факторлар коллинеарлы деп есептеледі. Коллинеарлықты жою үшін тәуелсіз айнымалылар құрамынан қосалқы факторды алып тастау керек. Мұнда шешуші роль зерттелетін бъектіні экономикалық талдауға беріледі.

№2 кесте

ЖҰП КОРРЕЛЯЦИЯ КОЭФФИЦИЕНТТЕРІ

№		Тәуелді айнымалық өнімді өткізу көлемі	Тәуелсіз айнымалылар
			Уақыт	Жарнама	Баға	Бәсекелік баға
1	Уақыт	0,68	1	0,10	0,17	-0,05
2	Жарнама	0,64	0,10	1	-0,01	0,21
3	Баға	0,23	0,17	-0,01	1	0,7
4	Бәсекелік баға	0,23	-0,05	0,21	0,7	1
5	Индекс	0,82	0,96	0,27	0,23	0,03

Есептелген жұп корреляция коэффициенттерден тәуелді айнымалы, яғни өнім көлемі уақытпен (0,68), жарнама шығындармен (0,64) және тұтыну шығындарының индексімен (0,12) өте күшті сызықты байланыста екенін көруге болады. Өкінішке орай, тәуелсіз айнымалылар уақытысын және тұтыну шығындарының индексі өте жоғары корреляцияланған (0,96).

№3 кесте

БЕС АЙНЫМАЛЫ ҮШІН РЕГРЕССИЯ КОЭФФИЦИЕНТІНІҢ МӘНДІЛІГІН ТЕКСЕРУ

Тәуелсіз айнымалылар	Регрессия коэффициенттері	t-критериінің мәндері	5%-тін деңгейдегі сенімділік
Уақыт	-13,4	-1,29	сенімді емес
Жарнама	6,6	2,21	сенімді дерлік
Баға	6,4	-0,41	сенімді емес
Бәсекелік баға	12,1	0,84	сенімді емес
Индекс	30,5	2,65	сенімді

Біз қазір модельдердің мәнді емес екенін көріп отырмыз, өйткені 4 регрессия коэффициенті мәнді емес. Біз модельдерден қай айнымалыны(факторды) алып тастау керектігін шешуіміз керек.

Келесі кестеде (№4) модельдегі айнымалылар санын қысқарту шараларының қадамдары берілген, ең алдымен 5-тен 4 дейін, содан соң 3-ке сызықшылар (-) айнымалының модельге қосылмағанын көрсетеді. Әр көпмүшелі модельді(параметрлерін) сәйкес әдістермен табамыз. Зерттеулеріміздің нәтижелерін қолдана отырып, қарастырудан қандай айнымалыны алып тастауға болатынын шешуге болады. Әр модель үшін біз Фишер критериі бойынша барлық регрессияны және Стюдент критериі бойынша жеке регрессия коэффициенттерін санаймыз. Егер модель барлық критерилер бойынша сәйкес келсе, онда қалдық дисперсия аз, ал көпмүшелі корреляция коэффициенті – 1 жақын болуы керек.

№4 кесте

РЕГРЕССИЯНЫҢ ТҮРЛІ МОДЕЛЬДЕРІН ЗЕРТТЕУ

Модельдегі айнымалылар саны	F-критериі бойынша 5% деңгейіндегі барлық модельдер дің мәндері	Критериі бойынша регрессия коэффициентінің мәнділігі					Модель мәнді ме		R
		уақыт	жарнама	баға	Бәсекелік баға	индекс
5	иә	жоқ	жоқ	жоқ	жоқ	иә	жоқ	42	0,94
4	иә	-	иә	жоқ	жоқ	иә	жоқ	43	0,93
3	иә	-	иә	-	жоқ	иә	жоқ	41	0,93
2	иә	-	иә	-	-	иә	иә	41	0,93
2	иә	иә	иә	-	-	-	иә	50	0,89
1	иә	-	-	-	-	иә	иә	62	0,82

1-ші модель: өнім өткізу= (уақыт)+ (жарнама)+ (баға)+ (бәсекелік баға)+ (индекс)

Модель F-критериі бойынша мәнді ме?

мәнді

Регрессия коэффициенттері t-критериі бойынша мәнді ме?

уақыт - факторы үшін - мәнді емес

жарнама - факторы үшін - мәнді

дерлік баға - факторы үшін - мәнді емес

бәсекелік баға - факторы үшін - мәнді емес

индекс - факторы үшін - мәнді

Модельдің мәнділігі бар ма?

Модельдің статистикалық мәнділігі жоқ, өйткені, ол F-

критериі бойынша сенімді болғанымен, 4 регрессия

коэффициенті t- критериі бойынша мәнді емес.

2-ші модель: өнім өткізу= ( жарнама)+ ( баға)+ (бәсекелік баға)+ (индекс)

Модель F-критериі бойынша мәнді ме?

мәнді

Регрессия коэффициенттері t-критериі бойынша мәнді ме?

жарнама - факторы үшін - мәнді

баға - факторы үшін - мәнді емес

бәсекелік баға - факторы үшін - мәнді емес

индекс - факторы үшін - мәнді

Модельдің мәнділігі бар ма?

Модельдің статистикалық мәнділігі жоқ, өйткені

регрессияның екі коэффициенті t-критериі бойынша мәнді емес.

3-ші модель: өнім өткізу= ( жарнама)+ (бәсекелік баға) + (индекс)

Модель F-критериі бойынша мәнді ме?

мәнді

Регрессия коэффициенттері t-критериі бойынша мәнді ме?

жарнама - факторы үшін - мәнді

бәсекелік баға - факторы үшін - мәнді емес

индекс - факторы үшін - мәнді

Модельдің мәнділігі бар ма?

Модельдің статистикалық мәнділігі жоқ, өйткені t-критериі

бойынша 1 регрессия коэффициенті мәнді емес.

4-ші модель: өнім өткізу= ( жарнама)+ (индекс)

Модель F-критериі бойынша мәнді ме?

мәнді

Регрессия коэффициенттері t-критериі бойынша мәнді ме?

жарнама - факторы үшін - мәнді

индекс - факторы үшін - мәнді

Модельдің мәнділігі бар ма?

Модель статистикалық мәнді.

5-ші модель: өнім өткізу= ( уақыт)+ (жарнама) модельі F-критериі бойынша мәнді

Регрессия коэффициенттері t-критериі бойынша мәнді ме?

уақыт - факторы үшін - мәнді

жарнама - факторы үшін - мәнді

Модельдің мәнділігі бар ма?

Модель статистикалық мәнді.

6-ші модель: өнім өткізу= ( индекс).

Модель F және t-критериі бойынша статистикалық мәнді.

P.S. статистикалық көпмүшелі модельді анықтауда F-критериі бойынша сенімді емес модель ары қарай қарастырылмайды.

3-қадам. Анықталған 3 мәнді көпмүшелі модельдің ішінен “ең жақсы” модельді таңдау.

Біздің мысалда мәнді модель тек айнымалылар саны 2-ге дейін қысқарғанда ғана пайда болды. Ең басында 5 тәуелсіз айнымалы болды: х₁, х₂, х₃, х₄, х₅, бірақ олардың екеуі – х₃ және х₄ барлық модельден алынып тасталды. Бұл айнымалылар у көрсеткішін болжауға көмектеспейді.

Сонда мәнді модельдер мыналар болады:

I модель: у көрсеткіші тек х₅ бойынша болжанады

II модель: у көрсеткіші тек х₁, х₂ бойынша болжанады

III модель: у көрсеткіші тек х₂, х₅ бойынша болжанады

Осы модельдерден таңдау жүргізу үшін, көпмүшелі корреляция коэффициенттері мен қалдық дисперсия мәндерін формула бойынша табамыз. Модельдерді қалдықтардың стандартты ауытқуларын салыстыру арқылы жүргіземіз. Ауытқу неғұрлым аз болуы керек.

Үшінші модель жарнама шығындары мен тұтыну шығындарының индексімен ең жақсы болып отыр, өйткені , ал екінші модель: жарнама шығындары мен уақыт моделінің .

Соңғы қадам- екі айнымалысы бар ең жақсы модельді бір айнымалысы бар ең жақсы модельмен салыстыру. Корреляция шамасы бойынша ең жақсы модель ретінде бір айнымалысы барды таңдаймыз: R=0,82. егер бір тәуелсіз айнымалыны қосу модельді жақсартса, онда біз тексеру үшін жеке F-критериін қолданатын едік. Бұл критериі жарнама шығындарының шамасын енгізу модельді жақсартатынын көрсетеді және біз екі айнымалыны қолдануымыз керек: тұтыну шығындарының индексі жарнама шығындары. Өнім өткізу моделін болжау үшін соңғы модель:

Өнім өткізу:=-1476+9,54х(жарнама)+15,8(индекс) (млн.тг.).

Жарнама шығындары мен тұтыну шығындарының индексі үшін регрессия коэффициенті оң.

Бұл мысал барлық статистикалық мәнді модельдің ішінен ең жақсы модельді таңдауды көрсетеді(көпмүшелі модельді анықтау әдістері көрсетілмеген) статистикалық модельдің мақсаты - өнім өткізуге жарнама мен тұтыну шығындарының индексінің изоляцияланған әсері бойынша ерекше ақпаратта көрсету емес, сату фармациясын түсіндіру.

Жиынтық таңдауда осы немесе басқа айнымалы арасында қарама-қайшылық туындайды. Сондықтан регрессия коэффициенттері жеке айнымалыларда ерекше көңілмен қолданылуы керек.

Ең соңында, талдау кезінде біз қателердің құрылымы мен көлемін тексеруіміз керек, сондықтан біз ең үлкен қателерді болжауымыз керек. Қателер келесі түрде есептеледі:

Қате= өнім өткізудің нақты көлемі – модель бойынша есепті өткізу көлемі.

№5 кесте

ҚАТЕЛЕР КӨЛЕМІ (МЛН.ТЕНГЕ)

Нақты өнім өткізу	Күтілетін өнім өткізу	Қателік
126 137 148 191 274 370 432 445 367 367 321 307 331 345 364 384	142 125 159 242 247 307 361 417 424 350 346 335 387 350 354 362	-16 12 -11 -51 27 63 71 28 -57 17 -25 -28 -56 -5 10 22

Сатылудың нақты көлемінен 10% ауытқуымен немесе одан көп 8-қате болып шықты. Олардың ең көбі - 27%.