1.5 Кездейсоқ шамалардың өзара байланысы

Көптеген экономикалық көрсеткіштер бірнеше сандармен анықталады, яғни көпөлшемді кездейсоқ шамалар болып табылады. Экономикалық көрсеткіштердің бірқатар мәндері басқа көрсеткіштердің мәндерін анықтайды.

Сондықтан экономикалық талдаудың басты міндеттерінің бірі- экономикалық көрсеткіштерді анықтау және олардың арасындағы байланысты көрсету. (нақты кездейсоқ шамалар арасында).

Мысалы: кіріс пен тұтыну арасындағы; тауар сұранымы және тауар бағасы арасындағы; инфляция деңгейі және жұмыссыздық деңгейі арасындағы; жалпы ұлттық өнім және тіршілік деңгейі арасындағы байланыстар.

Дербес жағдайда екі кездейсоқ шама арасындағы тәуелділікті орнату үшін екіөлшемді ықтималдықтар қарастырылады. және кездейсоқ шамалары дискретті үлестіру кестесімен берілсе

Мұнда – бір уақытта кездейсоқ шама , ал кездейсоқ шама мәндерін қабылдау ықтималдығы, яғни қос мәнінің пайда болу ықтималдығы

тің кез келген мәнінде мән қабылдау ықтималдығы жатық жолының ықтималдықтарының қосындысына тең

тің кез-келген мәнінде мән қабылдау ықтималдығы тік жолының ықтималдықтарының қосындысына тең

және кездейсоқ шамаларының сәйкесінше математикалық үміттері:

Сол сияқты және кездейсоқ шамаларының дисперсиялары:

Үздіксіз екіөлшемді кездейсоқ шаманың үлестіру функциясы және ықтималдықтар тығыздығы:

Біріккен үлестіру функциясы

Біріккен ықтималдық тығыздығы

Тәуелсіз кездейсоқ шамалар

Егер және кездейсоқ шамалары үшін

теңдігі орындалса, онда мұндай кездейсоқ шамаларды тәуелсіз деп атайды. Тәуелсіз және кездейсоқ шамалары үшін келесі қатынастардың кез келгені орындалады.

Ковариация және корреляция коэффициенті. Кездейсоқ шамалардың өзара байланысын талдауда ковариация және корреляция коэффициенті қолданылады. ретті орталық момент деп

шамасын атайды. және кездейсоқ шамаларының байланысын анықтау үшін және кездейсоқ шамаларының ковариациясы деп аталатын орталық моментін қолданамыз.

Ковариация және кездейсоқ шамаларының байланысының абсолюттік өлшемі болады. Дискретті кездейсоқ щама үшін

Үздіксіз кездейсоқ шама үшін

Ковариацияның қасиеттері:

1)

2)

3) егер және тәуелсіз кездейсоқ шамалар болса, онда

4)

5)

және кездейсоқ шамаларының корреляция коэффициенті деп келесі формуламен анықталатын шаманы атайды

Егер болса, онда және кездейсоқ шамаларының арасында корреляциялық байланыс жоқ, ал егер болса, корреляциялық байланыс бар.

Корреляция коэффициентінің қасиеттері:

1)

2)

3)

4) егер және кездейсоқ шамалары тәуелсіз болса, онда

5) егер болса, (яғни және кездейсоқ шамаларының арасында сызықтық тәуелділік бар). Егер және кездейсоқ шамалары тәуелді болса, онда

Мысал 2 Көп жылдар бойы екі компанияға салынған инвестиция нәтижелерін бақылау бойынша және - жылдық дивидендтер өлшемдерінің үлестіру заңы құрылған. Әр кездейсоқ шаманың маргиналды үлестіру заңын жазып, олардың арасындағы байланысты анықтаңыздар. Ковариация және корреляция коэффициенттерін есептеңіз, екі компанияның біреуіне немесе екеуіне де бірдей мөлшерде инвестиция салу тәуекелін есептеп, тиімді жағдайды анықтаңыз.

Y X	-10	5	10
-10	0.05	0.25	0.3	0.6
20 20	0.15	0.20	0.05	0.4
	0.2	0.45	0.35

және кездейсоқ шамаларының үлестіру заңдары

Y	-10	5	10
	0.20	0.45	0.35

X	-10	20
	0.6	0.4

,

ендеше және кездейсоқ шамалары тәуелді.

және кездейсоқ шамалары арасындағы байланыс ковариациямен анықталады.

.

және кездейсоқ шамаларының арасында теріс тығыз емес сызықтық байланыс бар деп айтуға болады. Инвестиция тәуекелін дивидендтер мәнінің шашылуына байланысты кездейсоқ шамалардың дисперсиялары бойынша есептеуге болады.

олай болса бірінші компанияға инвестиция салу екінші компанияға қарағанда тиімді емес. деп, екі компанияға бірден бірдей мөлшерде инвестиция салуда дивидендтер өлшемін белгілейік. Ендеше .

осыдан қарастырылған үш жағдайдан екі компанияға бірден бірдей мөлшерде инвестиция салған тиімді екенін көреміз.

Математикалық статистика элементтері

Нақты экономикалық құбылыстарды әртүрлі көрсеткіштер бойынша зерттеуде өте көп статистикалық мәліметтерді өңдеуге тура келеді. Статистикалық мәліметтер құрылымы бойынша кездейсоқ шамалар болып табылады. Көп жағдайда параметрлердің сандық мәндерін бағалау үшін бірнеше рет болжам қоюға және оларды тексеруге тура келеді. Әртүрлі факторлар арасындағы тәуелділікті орнату және тәуелділіктің шамасын анықтау қажет.

Статистикалық мәліметтер дегеніміз жүргізілген байқаулардың, тәжірибелердің қорытындысы. Математикалық статистиканың негізгі міндеттерінің бірі статистикалық мәліметтердің заңдылықтарын айқындап, оларға сәйкес экономикалық модель құру және шешімдер қабылдау. Математикалық статистиканың бірінші міндеті байқаулар, тәжірибелер арқылы алынған мәліметтерді жинастырып, топтастыру әдістерін көрсету. Ал екінші міндеті статистикалық мәліметтерді алға қойған мақсатқа байланысты талдау жасау әдістерін табу.

Бас жиынтық және таңдама. Бас жиынтық деп белгілі қасиеттерімен бірігетін барлық қарастырылып отырған объектілер жиынын атайды. Жеке объект осы жиынның элементі болады. Егер бір кәсіпорынды алатын болсақ, онда жеке жұмысшы объект болады да, ал кәсіпорынның барлық жұмысшылары бас жиынтық болады. Бас жиынтықтағы объектілер саны ақырлы немесе ақырсыз көп сан болуына байланысты бас жиынтық шектелген және шектелмеген болып екіге бөлінеді.

Таңдама дегеніміз бас жиынтықтан кездейсоқ таңдап алынған объектілер жиынтығы. Бас және таңдама жиынтықтағы объектілер саны олардың көлемі деп аталады. Бас жиынтықтың көлемі үлкен болса, түгелдей тексеру мүмкін емес. Егер зерттелініп отырған объектілер жиыны жойылуға жататын (өзіндік құнын жоғалтуына байланысты), немесе практикада өте көп материалдық шығындарды қажет ететін болса, онда толық талдаудың мәні болмайды. Бас жиынтық жөніндегі тұжырым дұрыс болуы үшін бөлініп алынған таңдама бас жиынтық туралы жан-жақты сипаттама беруге тиіс. Экономикалық процестерді болжауда, олардың тиімді шешімін табуда таңдаманы құрудың үлкен мағынасы бар. Таңдаманы құру әдістері:

1) бас жиынтықты ұсақ бөліктерге бөлуді талап етпейтін таңдау: қайталамалы және қайталанбайтын таңдамалар. Бөліп алынған таңдама зерттелініп болғаннан кейін бас жиынтыққа қайта қосылатын болса таңдама қайталамалы, ал қосылмайтын болса таңдама қайталанбайтын деп аталады;

2) бас жиынтықты ұсақ бөліктерге бөлуді талап ететін таңдау: типтік, механикалық, сериялық таңдаулар.

Типтік таңдауда бас жиынтық типтес бөліктерге бөлінеді де, әр бөліктен тәуекелге бір-бірден объект таңдап алынады.

Механикалық таңдауда, бас жиынтық механикалық түрде қанша объекті таңдамаға кіретін болса, сонша бөлікке бөлінеді де, әрбір бөліктен бір-бірден объект таңдап алынып таңдама құрылады.

Бас жиынтық алдын-ала өзара қиылыспайтын бірнеше серияға бөлінеді де, ол сериялардың біреуі кездейсоқ таңдап алынса, онда осы серияның барлық элементтері таңдама жиынтық құрады.

Таңдаманың статистикалық үлестіруі. Бас жиынтықтан көлемі болатын таңдама бөлініп алынды делік. Оларды -тің мәндерінің өсу ретіне байланысты деп жазамыз. Бақылау бойынша элементі рет, элементі рет, тағы сол сияқты элементі рет пайда болсын, мұндағы , онда тәжірибелер нәтижесінде алынған - варианталар, ал тізбегі вариациялық қатар деп аталады. - сәйкес варианталардың жиіліктері, - варианталардың салыстырмалы жиіліктері, мұндағы , .

Таңдаманың статистикалық үлестіруі деп варианталар мен, олардың жиіліктерінің немесе салыстырмалы жиіліктерінің арасындағы өзара бір мәнді сәйкестікті атайды. Таңдаманың құлашы деп, оның ең үлкен және ең кіші варианталарының айырымын айтады. Вариациялық қатар дискретті және үздіксіз болып екіге бөлінеді. Вариациялық қатар дискретті деп аталады, егер шаманың мәндері бір бірінен кемінде кейбір тұрақты санға өзеше болса. Егер шама интервалдар тізбегімен және оларға сәйкес жиіліктерімен берілетін болса (интервал жиілігі осы интервалға кіретін варианталардың жиіліктерінің қосындысы), онда вариациялық қатар үздіксіз деп аталады.

Статистиклық қатар бойынша эмпирикалық үлестіру функциясын құруға болады.

Эмпирикалық үлестіру функциясы. Эмпирикалық үлестіру функциясы деп әрбір -тің мәні үшін оқиғасының салыстырмалы жиілігін атайды.

,

мұндағы кездейсоқ шама жиілігі, таңдама көлемі. Анықтама бойынша функциясының қасиеттері:

1)

2) кез келген үшін

3) егер болса, егер болса.

Таңдаманың сандық сипаттамалары. көлемі N саны болатын бас жиынтық болсын.

Анықтама 1

Бас орта деп бас жиынтық обьектілерінің арифметикалық ортасын атайды және деп белгілейді

Анықтама 2

Бас дисперсия деп бас жиынтық қабылдайтын барлық мүмкін мәндерінің бас ортасынан ауытқуының квадратының арифметикалық ортасын атайды және деп белгілейді

Анықтама 3

Бас дисперсияның квадрат түбірі бас орташа квадраттық ауытқу деп аталады.

– көлемі n саны болатын таңдама жиынтық болсын. Таңдаманың ортасы, таңдаманың дисперсиясы, таңдаманың орташа квадраттық ауытқуы келесі формулалармен анықталады.

мұнда

Дисперсияны есептеудің ықшамдалған формуласы

Полигон және гистограмма. Статистикалық үлестіруді толық түсіну үшін, оларды полигон және гистограммамен көрсетуге болады. Бұл екі ұғымның экономикалық процесстерді зерттеуде үлкен маңызы бар. Полигон жиіліктің және салыстырмалы жиіліктің полигоны болып екіге бөлінеді. Жазықтықта нүктелерін сынық сызықпен қосқанда пайда болған көпбұрыш жиілік полигоны деп аталады. Салыстырмалы жиілік полигоны деп жазықтықта нүктелерін сынық сызықпен қосқанда пайда болатын көпбұрышты атайды. Жиілік гистограммасы деп табандары h, биіктігі (жиілік тығыздығы) болатын тік төртбұрыштардан тұратын сатылы фигураны атайды. Салыстырмалы жиілік гистограммасы деп табандары h, биіктігі (салыстырмалы жиілік тығыздығы) болатын тік төртбұрыштардан тұратын сатылы фигураны атайды.

Мысал 2 Кейбір тауардың 50 күн ішінде күнделікті сатылған көлемі талданып, келесі мәліметтер алынған.

5,6,3,2,7,7,6,6,6,4,5,6,3,9,7,4,6,7,8,8,5,5,4,3,6,6,7,7,8,8,6,4,5,6,7,7.8,9,5,6,4,2,7,8,7,9,5,6,9,5.

a) статистикалық қатар құрыңыз;

ә) таңдаманың құлашын есептеңіз;

б) эмпирикалық функция құрып, графигін салыңыз;

в) таңдаманың ортасын, дисперсиясын, орташа квадраттық ауытқуын анықтаңыздар.

a) статистикалық қатар

	2	3	4	5	6	7	8	9
	2	3	5	8	12	10	6	4

ә) таңдаманың құлашы 9 – 2 = 7

б) эмпирикалық функция

в)

Таңдаманың ковариациясы және корреляция коэффициенті

,

, .

Таңдаманың ковариациясы және корреляция коэффициентіне кездейсоқ шама үшін келтірілген теориялық ковариация және корреляция коэффициентінің қасиеттері орындалады.

Мысал 3 және шамаларының қос мәндері төмендегі кестемен берілген. Таңдаманың ковариациясы және корреляция коэффициентін есепте.

	1	3	5	7	9
Y	10	7	8	5	3

, ,

,

, .

және шамаларының арасында теріс тығыз сызықтық тәуелділік бар деп тұжырым жасауға болады.

Үлестіру параметрлерін бағалау

Бас жиынның сандық белгісін білу үшін, оның үлестіру заңы белгілі болған жағдайда үлестіру параметрлерін бағалау керек. Дискретті немесе үздіксіз сандық сипатты үлестіруінің белгісіз параметрін деп белгілейік. Оның таңдама арқылы табылатын бағасы болсын. Әртүрлі таңдама алған сайын өзгеріп отыратын болғандықтан - кездейсоқ шама болады.

Анықтама 4

Егер болса, онда жылжымаған баға деп аталады.

Анықтама 5

Егер болса, онда орнықты баға деп аталады, бұл жерде - таңдама көлемі.

Анықтама 6

– параметрінің бағасы тиімді баға деп аталады, егер оның дисперсиясы басқа көлемі тұрақты альтернативті таңдамалардың дисперсияларына қарағанда кіші болса.

Таңдама арқылы бірден табылатын нүктелік бағалар. Нүктелік баға деп бір санмен анықталатын бағаны атайды.

Сөйлем 1 Бас ортаның жылжымаған және орнықты нүктелік бағасы таңдаманың ортасы болады.

Сөйлем 2 Бас дисперсияның жылжыған бағасы таңдаманың дисперсиясы болады, ал жылжымаған бағасы таңдаманың түзетілген дисперсиясы болады.

, - таңдама көлемі, – таңдаманың дисперсиясы.

Интервалдық бағалар. Бір санмен ғана анықталатын нүктелік баға таңдаманың көлемі аз болғанда, өрескел қателерге әкелуі мүмкін. Сондықтан бас жиынның белгісіз параметрінің интервалдық бағасын, яғни параметрі жататындай интервалын белгілі бір сенімділікпен айқындау мәселесін қарастырайық.

Анықтама 7

параметрінің бағасы бойынша сенімділік ықтималдығы деп теңсіздігінің орындалу ықтималдығы - ны атайды, яғни

, бұл жерде бағаның дәлдігі.

Анықтама 8

интервалын сенімділікпен алынған сенімділік интервалы деп атайды.

, ,

, яғни параметрі интервалында жату ықтималдығы ға тең.

Қалыпты үлестірудің белгілі болса, оның математикалық үміті санын бағалаудың сенімділік интервалы

бағалау дәлдігі, сенімділік, мәнін теңдігін пайдаланып екінші қосымшадан табамыз.

Қалыпты үлестірудің белгісіз болған жағдайда математикалық үмітінің сенімділік интервалы. Таңдама бойынша кездейсоқ шама құрамыз.

Стьюдент үлестіруі, еркіндік дәрежесі

таңдаманың ортасы, түзетілген орташа квадраттық ауытқу, таңдама көлемі.

сенімділік интервалы

B қосымшадағы Стьюдент кестесінен және бойынша мәнін табамыз. Қалыпты үлестірудің бас орташа квадраттық ауытқуын бағалаудың сенімділік интервалы

теңсіздігін түрлендірсек

, , алып

q-мәнін және бойынша (хи - квадрат) үлестіруінің қосымшасынан табамыз, ал S мәнін таңдама бойынша есептейміз. Мысал. қалыпты үлестірілген сандық сипатты белгі, көлемі орташа квадраттық ауытқуы . сенімділікпен бас жиынның орташа квадраттық ауытқуын бағалаудың сенімділік интервалын есепте.

Ә қосымшадан мәндеріне сәйкес табамыз.

0,8 (1- 0,32) < < 0,8 (1+ 0,32)

0,544 < < 1,056

Статистикалық болжамдарды тексеру

Негізгі ұғымдар. Болжамды тексерудің жалпы схемасы

Статистикалық болжам деп кездейсоқ шаманың үлестіру түрі немесе үлестіру параметрлері туралы алдын-ала жасалатын болжамды атайды. Статистикалық болжам таңдаманың көмегімен тексеріледі. Алдымен нөлдік болжам деп аталатын, тексерілуге тиіс болжамы қарастырылады. Бұл болжамға қарсы болжамды альтернативті деп атап, әріпімен белгілейміз. Мысалы үлестірудің белгісіз параметрі туралы нөлдік болжам былай болса, онда . Статистикалық болжамды тексеру барысында екі түрлі қате жіберуіміз мүмкін.

Бірінші текті қате – болжамы жоққа шығарылып болжамы қабылданады, бірақ негізінде дұрыс.

Екінші текті қате – болжамын қабылдаймыз, бірақ негізінде болжамы дұрыс.

Анықтама 9

Бірінші текті қате жіберу ықтималдығын маңыздылық деңгейі дейміз де, әріпімен белгілейміз.

Анықтама 10

Екінші текті қате жіберу ықтималдығын деп белгілейміз, сонда екінші текті қате жібермеу ықтималдығы критерийдің қуаты деп аталады.

Тексеру критерийлері. Кризистік аймақтар (облыстар)

Статистикалық болжам таңдаманың мәліметтері негізінде тексеріледі. Ол үшін үлестіру заңы белгілі статистикалық критерий деп аталатын кездейсоқ шамасы қарастырылады. Бұл шама немесе қалыпты, (хи-квадрат), Фишер, Стьюдент үлестірулерімен берілуі мүмкін. Тексеру критерийінің мүмкін мәндері екі жиынға бөлінеді: олардың біреуінде нөлдік болжам орындалады да, екіншісінде орындалмайды. Нөлдік болжам орындалмайтын критерийдің мәндер жиыны кризистік аймақ деп аталады. Нөлдік болжам орындалатын критерийдің мәндер жиыны болжам қабылданатын аймақ деп аталады.

Статистикалық болжамдарды тексерудің негізгі қағидалары:

Таңдаманың (эмпирикалық) белгілі мәліметтеріне сүйене отырып, критерийдің бақыланатын мәні К анықталады. Берілген маңыздылық деңгейінде К үлестіруінің кризистік нүктелерінің кестесінен критерийдің сындық мәні анықталады. Егер К критерийдің бақыланатын мәні кризистік аймақта жататын болса, онда нөлдік болжам жоққа шығарылады. Егер К критерийдің бақыланатын мәні болжам қабылданатын аймақта жататын болса, онда нөлдік болжамды жоққа шығаруға негіз жоқ (қабылданады).

Кризистік аймақтың орналасуының үш варианты бар:

Оң жақ кризистік аймақ мұнда келесі шартпен анықталады

Сол жақ кризистік аймақ мұнда келесі шартпен анықталады

Екі жақты кризистік аймақ және мұнда , нүктелері келесі шарттармен анықталады , .