3.2. Кількісні показники ступеня ризику в абсолютному вираженні

В абсолютному вираженні ризик може визначатися сподіва­ною величиною можливих збитків, якщо збитки піддаються та­кому виміру. Як міру ризику в абсолютному вираженні викорис­товують також оцінки мінливості результату. На практиці часто обмежуються спрощеними підходами: оцінюючи ризик, спира­ються на один чи кілька головних показників (критеріїв), параме­трів, які являють собою найважливіші узагальнені характеристи­ки у даній конкретній ситуації. Якщо такою узагальненою характеристикою виступає величина небажаних наслідків (збит­ки, непередбачувані платежі тощо), то в абсолютному вираженні міра (ступінь) ризику невдачі (очікуваної невдачі в процесі дося­гнення мети) може визначатися як добуток імовірності невдачі (небажаних наслідків) та величини цих небажаних наслідків, які мають місце в даному випадку, тобто:

де W— величина ризику; Рн — імовірність небажаних наслідків; Xн — величина (обсяг) цих наслідків.

У ряді випадків, зокрема страхуванні, величину (ступінь) ри­зику W визначають як імовірність настання небажаних наслідків.

У такому разі:

Імовірність Рн з достатнім ступенем точності обчислюється, зокрема, на підставі статистичних даних.

Розрізняти теоретичні значення параметрів (числових харак­теристик) випадкових величин та їхні статистичні оцінки у пода­льших викладках будемо лише в окремих випадках, застерігаю­чи це.

Як міра ризику використовується функціонал збуреної ймові­рності [200]:

де F(x) — функція розподілу ймовірності випадкової величини, а — збурююча функція ймовірності, g(0)=0, g(1)=1.

Безсумнівний інтерес становить така оцінка ризику невдачі, яка ґрунтується на всьому спектрі можливих результатів (збитків, платежів тощо). Якщо відомі всі можливі наслідки окремого рі­шення та ймовірності їх настання, то для оцінки міри (ступеня) ризику використовується величина очікуваної невдачі (сподіване значення, математичне сподівання), тобто середньозважена вели­чина цих можливих результатів. У випадку, коли можливі наслідки описуються дискретною випадковою величиною а розподіл імовірностей їх настання

величина ризику очікуваної невдачі:

Якщо ж несприятливі наслідки описуються неперервною ви­падковою величиною ,

де F(x) — щільність розподілу ймовірності випадкової величини X.

У більшості випадків показники ефекту та ефективності (при­вабливості, збитковості) як випадкові величини мають асиметри­чні закони розподілу. Це зумовлено низкою причин: насамперед тим, що ці економічні показники залежать від багатьох чинників, частина з яких на момент дослідження є латентними. Крім того, мають місце приховані тенденції, не лінійність і багатоваріантність розвитку економічних процесів, асиметрія інформації на ринках, асиметричне ставлення більшості суб'єктів до сприятли­вих і несприятливих подій у майбутньому (стосовно експертних оцінок). Значний вплив має науково-технічний прогрес.

У разі, коли адекватною моделлю міри невдачі є випадкова величинах з несиметричним розподілом імовірності, за величину ризику доцільно використовувати модальне значення (М₀(Х)) цієї випадкової величини, тобто

У низці проблем, пов'язаних з економічним аналізом і прийнят­тям рішень в умовах невизначеності, конфліктності, використо­вуються середньогеометричні величини відповідних економічних показників. Про це йдеться ще у відомій праці О. Ланге, присвя­ченій проблемам економічної кібернетики [166]. Середньогеометричне доцільно використовувати у маркетингових дослідженнях для кількісної оцінки рейтингу якості товарів і послуг, рейтингу

підприємства (фірми) тощо. При врахуванні низки припущень і гіпотез середньогеометричне використовується у теорії раціона­льних сподівань, теорії пріоритетності ліквідності для оцінки до­хідності (ставки відсотка) довгострокових фінансових інструмен­тів [33, 183, 312]. У цілому ж загальна теорія часової структури ставки відсотка, як зазначається в [133], перебуває в стані стано­влення і подальших досліджень.

У працях з теорії ймовірностей та математичної статистики (див. [156]) середньогеометричне розглядається як характеристи­ка центра групування випадкової величини X, що обчислюється за формулою

де — математичне сподівання випадкової величини.

Очевидно, що можливості використання оцінки (3.1) обмежені тим, що логарифмічна функція визначена лише для додатнього аргументу (тобто для Х> 0). Походження терміна «середньогео­метричне» легко пояснюється на прикладі дискретної випадкової величини з розподілом , де . Тоді

Власне середньо геометричним прийнято називати оцінку [179]

а тому у ситуації, коли вживання терміна «середньогеометричне» стає не зовсім коректним. У зв'язку з цим надалі в більш загальних ситуаціях оцінку (3.1) називатиме­мо зваженим середньогеометричним випадкової величини X. Як характеристику деяких економічних показників має сенс розгля­дати саме зважене середньогеометричне.

Подальшим узагальненням використання зваженої середньогео-метричної в практичній діяльності може слугувати оцінка [42]:

тобто зважене середньогеометричне, що отримується згідно із запропонованою методикою, збігається з середньогеометричним, запропонованим у [270].

Виявляється, що портфель цінних паперів, сформований на під­ставі максимізації зваженої середньогеометричної норми прибутку, характеризується найвищою очікуваною вартістю в кінці середньо-та довготермінового періоду (найвищим кінцевим багатством).

Як величина ризику в абсолютному вираженні часто викорис­товується міра розсіювання значень економічного показника від­носно центра групування цих значень. Нехай за центр групування значень економічного показника використовується його матема­тичне сподівання. Тоді середньозважене модуля відхилення цьо­го показника від свого математичного сподівання у дискретному випадку можна знайти за формулою:

Якщо ж за центр групування значень економічного показника використати моду, то середньозважене модуля відхилення від модального значення у дискретному випадку знаходять за фор­мулою:

Можна розглянути як центр групування значень економічного показника медіану, тоді середньозважене модуля відхилення від медіанного значення (М_е) у дискретному випадку обчислюють за формулою:

У ситуації, коли адекватною моделлю економічного показника є неперервна випадкова величина,

де f(x) — функція щільності розподілу ймовірності випадкової величини X.

Очевидно, що більші значення наведених оцінок свідчать про вищу нестабільність щодо діяльності відповідного економічного об'єкта. Як величина ризику і використовується ця міра нестабі­льності, тобто:

або

або ж

Слід мати на увазі, що даний підхід до оцінки ризику застосо­вується у разі, коли економічний показник може мати як позити­вний, так і негативний інгредієнт.

При абсолютному вираженні міри економічного ризику (див. [18, 25, 92, 140, 204, 213, 227, 275, 291]) під час прийняття рішень широко використовується дисперсійний підхід.

Дисперсією (варіацією) V(Х) випадкової величини X є зважена щодо ймовірності величина квадратів відхилення значень випад­кової величини X від її математичного сподівання М(Х). Диспер­сія характеризує міру розсіяння випадкової величини X навколо М(Х) і обчислюється за формулою:

Формула для розрахунку середньоквадратичного відхилення випадкової величини X:

де M(Х) — математичне сподівання випадкової величини X, V(Х) — її варіація (дисперсія), — середньоквадратичне від­хилення.

Якщо ж за центр групування значень економічного показника використати модальне значення випадкової величини, то в абсо­лютному вираженні міри економічного ризику можна використа­ти модальну варіацію та середньоквадратичне відхилення від мо­дального значення:

де М₀(Х) — модальне значення випадкової величини X; V_Мо(Х) — її модальна варіація; — середньоквадратичне відхилення від модального значення.

Аналогічно, якщо розглянути як центр групування значень економічного показника медіану, тоді в абсолютному вираженні міри економічного ризику можна використати медіанну варіацію та середньоквадратичне відхилення від медіани:

де Ме(Х) — медіана випадкової величини X; — її медіан­на варіація; —середньоквадратичне відхилення від ме­діани.

Підхід, що спирається на варіацію чи середньоквадратичне відхилення, вважається класичним. У варіації та середньоквадратичному відхиленні ризик визначається через відхилення значень випадкової величини від її сподіваного значення (математичного сподівання). При цьому, чим більшим буде це відхилення, тим більшим виявиться ступінь (міра) ризику, пов'язаного з певною стратегією.

Необхідно зауважити, що при такому визначенні міри ризику однаково трактуються як додатні (сприятливі), так і від'ємні (не­сприятливі) відхилення від сподіваної величини. Тобто викорис­товується гіпотеза, що коливання випадкової величини X (прибу­тку, норми доходу, ЧПВ, збитків) в обидві сторони однаково небажані. У ряді випадків, наприклад, при асиметричних законах розподілу ймовірностей, це не так і дану гіпотезу доводиться від­хиляти.

Якщо випадкова величина X відображає прибутки і має міс­це від'ємне відхилення, то зрозуміло, що відповідна оцінка прибутку як реалізація випадкової величини є нижчою, ніж сподівана величина. Це означає, взагалі кажучи, несприятливу ситуацію. Водночас додатне відхилення вказує на те, що реалі­зація випадкової величини (прибутку) є вищою, ніж сподівана величина. Для менеджера (інвестора) це, очевидно, сприятлива ситуація.

Ризик насамперед пов'язаний з несприятливими для підпри­ємця (менеджера, інвестора) ефектами, і для його оцінювання можна брати до уваги лише від'ємні відхилення від сподіваної величини (наприклад, при інвестуванні в цінні папери). При цьо­му оцінкою ризику може бути семі варіація, яка й обирається, зо­крема в [51, 92, 323], за міру ризику. Цю оцінку для дискретної випадкової величини Х можна подати формулою:

де п — кількість значень випадкової величини X; — індикатор несприятливих відхилень значень випадкової величини від її сподіваного значення, тобто:

Хj — значення випадкової величини, j = 1, ..., п; рj — відповідні ймовірності; т = М(Х) — математичне сподівання випадкової ве­личини X.

Для неперервної величини Х у разі, якщо випадкова величина має позитивний інгредієнт:

де f(x) — щільність розподілу ймовірності випадкової величини Х\ у разі, якщо випадкова величина має негативний інгредієнт:

де f(x) — щільність розподілу ймовірності випадкової величини X. З практичного погляду зручніше (беручи до уваги вимірність величин) застосувати так зване семіквадратичне відхилення, яке можна подати за формулою:

Отже, чим більшою буде величина SV(X) (чи SSV(X)), тим ви­щим буде ступінь ризику.

Якщо ж за центр групування значень економічного показника використати модальне значення випадкової величини, то в абсо­лютному вираженні міри економічного ризику можна використа­ти модальну семіваріацію та семіквадратичне відхилення від мо­дального значення.

Для дискретної випадкової величини X модальну семіваріацію можна подати формулою:

Де n – кількість значень випадкової величини Х; - індикатор несприятливих відхилень значень випадкової величини від її мо­дального значення, тобто:

— значення випадкової величини, j = 1,...,п; — відповідні ймовірності; — модальне значення випадкової величи­ни X.

Для неперервної величини Х у разі, якщо випадкова величина має позитивний інгредієнт:

де f(х) — щільність розподілу ймовірності випадкової величи­ни X; у разі, якщо випадкова величина має негативний інгредієнт;

де f(х) — щільність розподілу ймовірності випадкової величини X. Семіквадратичне відхилення від модального значення можна подати за формулою:

Аналогічно якщо розглянути за центр групування значень економічного показника медіану, то в абсолютному вираженні міри економічного ризику можна використати медіанну семіварі­ацію та семіквадратичне відхилення від медіани.

Для дискретної випадкової величини X медіанну семіваріацію можна подати формулою:

де п — кількість значень випадкової величини X; — індикатор несприятливих відхилень значень випадкової величини від її ме­діанного значення, тобто:

— значення випадкової величини, j = 1,...,п; — відповідні ймовірності; М_е(Х) — медіанне значення випадкової величи­ни X.

Для неперервної величини X у разі, якщо випадкова величина має позитивний інгредієнт:

де f(х) — щільність розподілу ймовірності випадкової величини X; у разі, якщо випадкова величина має негативний інгредієнт:

де f(x) — щільність розподілу ймовірності випадкової величини X. Семіквадратичне відхилення від медіанного значення можна подати за формулою:

Для оцінки ризику також застосовуються варіація та середньоквадратичне відхилення від зваженого середньо геометричного:

де WG(Х) — варіація від зваженого середньогеометричного; — середньоквадратичне відхилення від зваженого серед­ньогеометричного; — значення та відповідні ймовірності дискретної випадкової величини.

З погляду неокласичного підходу до оцінки ризику доцільним є впровадження такого показника ступеня ризику, як семіквадратичне відхилення від зваженого середньогеометричного випадко­вої величини:

де SG(X) — величина семіваріації стосовно зваженого середньо-геометричного; SSG(X) - семістосовно зваженого середньогеометричного; — індикатор несприятли­вого відхилення від зваженого середньогеометричного.

Оскільки величини SV_М0(Х), SSV_М0(Х), SV_Мe(Х), SSV_Ме(Х),

VG(Х), сG(Х), SG(Х), SSG(Х) мають негативний інгредієнт, то, як і раніше, ризик вважається вищим при більших значеннях цих по­казників.