5.1.2. Інгредієнт функціонала оцінювання. Функція ризику

Вибір того чи іншого економічного показника (функціонала оцінювання) залежить від цілей і завдань управління та планування. У низці праць [27, 46, 52, 57, 81,83, 101, 106,119, 158, 171, 270] де­тально характеризується категорія функціонала оцінювання, од­нією з найважливіших характеристик якого є його інгредієнт.

Вважається, що економічний показник (чи його характеристи­ка) має позитивний інгредієнт, якщо при прийнятті рішення суб'єкт управління орієнтується на його максимальне значення. Формально факт прийняття рішення на основі аналізу функціо­нала оцінювання F, що має позитивний інгредієнт, відображає рі­вність: F = F⁺. Якщо при прийнятті рішення суб'єкт управління орієнтується на мінімальне значення економічного показника, то вважається, що цей показник має негативний інгредієнт. У тако­му разі щодо функціонала оцінювання пишуть, що .

Визначення функціонала оцінювання (платіжної матриці) у формі F' = F⁺, як правило, використовують для оптимізації таких категорій, як виграш, корисність, ефективність, прибуток, надій­ність, імовірність удачі (ймовірність досягнення поставленої цілі) тощо. У формі платіжна матриця застосовується для оп­тимізації категорій програш, затрати, збитки, ризик, імовірність невдачі тощо.

Функція ризику визначається як лінійне перетворення елемен­тів функціонала оцінювання F = {f_kj} до відносних одиниць ви­мірювання. Елементи матриці ризику Z = {z_kj} знаходять за однією з двох формул

Таким чином, величина елемента вказує на збитки (неви­користані можливості), які може отримати СПР у разі вибору ним k-ї стратегії в умовах цього ж стану економічного середовища 0j, порівняно з результатом, який отримав би СПР при виборі найвигіднішої для нього стратегії в умовах цього ж стану 0j. Тоб­то матриця ризику показує, на скільки вигідно реалізуються виб­раною чистою стратегією існуючі можливості досягнення успіху за наявності ризику. Тому матрицю ризику називають також ма­трицею невикористаних можливостей.

5.1.3. Зведення економічних колізій до ігрових задач

Перші два етапи творчої складової процесу прийняття рішен­ня (див. п. 5.1) складають основу ігрової моделі. Відомо багато прикладів успішного застосування ігрової моделі як у сфері ви­робничої діяльності, так і на макроекономічному рівні.

Для простоти викладу вивчатимемо гру двох гравців з нульо­вою сумою. Як уже зазначалось, гра — це сукупність правил, що описують сутність конфліктної ситуації та встановлюють:

• вибір способу дій гравців на кожному етапі гри;

« обсяг необхідної інформації, якою володіє кожен гравець у момент вибору свого способу дії;

» плату кожного гравця після завершення будь-якого етапу гри.

Чистою стратегією гравця називається сукупність рекомен­дацій щодо ведення гри від початку до її завершення.

Гра називається скінченною, якщо в кожного гравця є скінченна кількість стратегій. У протилежному випадку гра є нескінченною.

Нехай гра є скінченною, а результати рішень, що можуть при­йматись гравцями, можливо виразити в грошовому еквіваленті або за допомогою інших цінностей, які збирається вигравати (придбавати) кожен гравець. Тобто для кожної комбінації вибра­них гравцями чистих стратегій існує відповідна величина плате­жу. У разі парної гри ці платежі зручно подавати у вигляді платі­жної матриці. Розв'язання гри полягає в знаходженні чистих стра­тегій для кожного гравця, які б максимізували виграш переможця та одночасно мінімізували б програш переможеного.

Однією із задач теорії гри є виявлення можливості певної рів­новаги, що називається компромісом, яка найбільшою мірою за­довольняє всіх учасників. Досить досконалою в плані пошуку компромісного рішення слід визнати теорію гри двох осіб з ну­льовою сумою, тобто такої парної гри, в якій виграш першого гравця завжди збігається з величиною програшу другого. В таких іграх, аналізуючи платіжну матрицю виграшів першого гравця, іноді можна знайти оптимальні чисті стратегії обох гравців.

Нехай відома матриця платежів парної гри з нульовою сумою, де елемент платіжної матриці , — це виграш першого гравця, тобто сума, яку йому платить другий гравець (програш другого гравця) у випадку використання пер­шим гравцем своєї чистої стратегії , а другим гравцем — своєї чистої стратегії

Розв'язати гру — це означає знайти оптимальну стратегію для кожного гравця. Оптимальною стратегією гравця назива­ється така стратегія, яка за багаторазового повтору гри забезпе­чує гравцеві максимально можливий середній виграш (або міні­мально можливий середній програш). Для знаходження цієї пари стратегій використовують «принцип мінімакса», сутністю якого є міркування, що супротивник зробить усе для того, щоб перешко­дити досягненню своєї цілі супротивником. Стратегію першого (другого) гравця називають оптимальною, якщо за її багаторазо­вого застосування виграш (програш) першого (другого) гравця не зменшується (не збільшується), які б стратегії не застосовував супротивник.

Для першого гравця F = F*, тому платіжну матрицю виграшів він аналізує з позиції максимізації гарантованого виграшу, а саме для кожної своєї чистої стратегії (k = 1, ..., т) він визначає мінімальне значення виграшу:

Число називається нижньою ціною гри, або максіміном, а від­повідна чиста стратегія s_k першого гравця називається максимінною.

Другий гравець ставить за мету мінімізацію свого гарантова­ного програшу. Для нього , а тому для кожної чистої стра­тегії Bj він визначає величину максимального програшу

Число називається верхньою ціною гри, або мінімаксом, а відповідна чиста стратегія 0_Jo другого гравця називається мінімаксною.

Часто найбільш «обережні» СПР називають максимінну та мінімаксну чисті стратегії загальним терміном «мінімаксні страте­гії». Мінімаксні чисті стратегії s_k та 0_j0 є стійкими, тобто утво­рюють оптимальну пару стратегій у тому разі, коли нижня ціна гри дорівнює верхній. Тоді платіжна матриця F містить елемент f_k0j0, що задовольняє умові:

(цей елемент є мінімальним у му рядку та максимальним у му стовпчику). Елемент називається сідловою точкою мат­риці F, величина

чистою ціною гри, а сама гра — грою із сідловою точкою. Таким чином, якщо гра має сідлову точку, то чисті стратегії та 0_jо є оптимальними і тоді сукупність стратегії та 0_jо ціна гри утворюють розв'язок гри. Розв'язок гри має таку властивість: якщо один з гравців дотримується своєї опти­мальної стратегії, то відхилятися від своєї оптимальної стратегії для другого гравця невигідно.

У загальному випадку значення ціни гри задовольняє умову:

що має місце у випадках, коли гра не має сідлової точки, а міні­максні чисті стратегії— неоптимальні. Це означає, що відшукан­ня розв'язку гри у чистих стратегіях стає неможливим і кожна із сторін може поліпшити свій стан багаторазовим випадковим ви­бором своїх певних чистих стратегій з деяких підмножин (що на­лежать множинам альтернативних чистих стратегій). Такі страте­гії називаються змішаними

.

Серед змішаних стратегій першого та другого гравців відшу­каємо оптимальні і позначимо їх через , відповідно. То­ді у загальному випадку оптимальним розв'язком гри буде суку­пність ( )

Якщо перший гравець вибрав змішану стратегію Sp,( ,…, ) Другий — змішану стратегію , Q = (q_i,...,q_n), то сподіваний виграш першого гравця (програш другого гравця) становить величину:

Методи пошуку оптимальних розв'язків гри базуються на та­ких положеннях:

1) кожна скінченна гра двох осіб з нульовою сумою має при­наймні один (оптимальний) розв'язок, можливо у змішаних стра­тегіях;

2) якщо один з гравців застосовує свою оптимальну змішану стратегію, то його виграш дорівнює ціні гри незалежно від того, з якими ймовірностями (відносними частотами) другий гравець використовуватиме стратегії", що увійшли в його оптимальну змішану стратегію.

Ці положення у вигляді теореми були сформульовані Джоном фон Нейманом та Оскаром Моргенштерном. Ними була доведена [194] так звана основна теорема теорії гри (теорема про міні макс). Згідно з цією теоремою:

У [І 94] показано, що ціна гри має верхню та нижню межі, а саме:

Як бачимо з наведених результатів, значення ціни гри задає cсередньозважений виграш першого гравця (або середньозваже­ний програш другого гравця) при багаторазовому застосуванні оптимальних змішаних стратегій s_p. та . гравців. Із співвідношення (511) випливає, що для пари стратегій s_p. та . влас­тиве таке; при багаторазовому їх застосуванні виграш першого гравця не зменшується, а програш другого гравця не збільшуєть­ся, які б власні стратегії не застосував супротивник. Підсумуємо:

1) розв'язати скінчену гру з нульовою сумою — це значить знайти оптимальні чисті стратегії гравців, якщо гра має сідлову точку; або ж знайти оптимальні змішані стратегії гравців s_p., та

, а точніше — вектори та ,

що задовольняють теорему про мінімакс, тобто умовам (5.5)— (5.11). а також отримати ціну гри;

2. будь-яка парна матрична гра має розв'язок, якщо допуска­ється використання змішаних стратегій;

2. гра без сідлової точки ( ) має розв'язок, можливо, не

єдиний, якщо хоча б один з гравців використовує оптимальну змішану стратегію.

Таким чином, загальноприйняте поняття оптимальності роз­ширюється за рахунок включення таких важливих елементів, як, наприклад, компромісне рішення, що задовольняє різні сторони конфлікту. Ця та інші особливості теорії' гри дозволяють викори­стовувати її методи для розв'язування різноманітних задач, що виникають в економічній науці та практиці. Дуже часто ці задачі допускають використання інших (неігрових) методів і моделей.