7.4. Оптимізація структури портфеля

ЦІННИХ ПАПЕРІВ З ВИКОРИСТАННЯМ

СЕМІВАРІАЦІЇ ЯК МІРИ РИЗИКУ

Даний підхід [43] будується на твердженні, що інвестор, ба­жаючи вкласти вільні грошові ресурси в корпоративні цінні па­пери, зустрічається з трьома альтернативами:

1. вкласти кошти в акції найнадійніших емітентів;

2. інвестувати в найприбутковіші акції;

3. вибрати проміжну позицію між надійністю і прибутковістю акцій.

Існують різні методики, дотримання яких приводить до вирі­шення поставлених цілей і задач. Але найпоширенішою та най­частіше використовуваною у практичній діяльності і теоретичних дослідженнях, як вже зазначалось, є модель, запропонована Гаррі Марковіцем. У своїх дослідженнях як основний економічний по­казник, що характеризує динаміку зміни ціни (котирування) ак­ції, він використовував норму прибутку акції, яка у дискретному випадку розраховується за формулою:

де R_k(t) — норма прибутку акції к-го виду в момент часу t; C_k(0), C_k(t) — ціна акції к-го виду відповідно у початковий момент (t = 0) та на кінець t-ro періоду часу; D_k(t) — дивіденди, виплачені на кінець t-го періоду; k = 1,...,N, N— кількість акцій, за якими здій­снюються спостереження та які прогнозуються щодо включення

їх у портфель цінних паперів (ПЦП); t = 1,...,Т, Т— кількість пе­ріодів, в які здійснювались спостереження за цінами (котируван­ням) акцій. При визначенні структури портфеля акцій, оптималь­ного з погляду інвестора, Маркові ц скористався дещо спрощеним підходом. По-перше, він додержувався концепції, що норма при­бутку акції к-го виду (k = l,...,N) є стаціонарним випадковим процесом, більше того — впродовж Т періодів випадкові величи­ни — множина елементарних по­дій) мають одну й ту саму функцію розподілу ймовірності (ця функція не залежить від часу). Тому спостереження за випадко­вими величинами у момент часу t = l,...,T можна розгля­дати як реалізації випадкової величини .

У своїй моделі Марковіц використовував такі кількісні ха­рактеристики випадкових величин (k = l,...,N): сподівана норма прибутку дисперсія середньоквадратичне відхилення коваріація

Крім того, Марковіц вважав, що будь-які відхилення норми прибутку акції від її сподіваного значення відображають дію чинників ризику щодо цієї акції і є однаково небажаними для ін­вестора. Тому як вимірювач величини ризику, що пов'язаний з придбанням цієї акції, він використовував величину дисперсії чи середньоквадратичною відхилення.

Сутність розглядуваної концепції полягає у тому, що трак­тування відхилень норми прибутку від її сподіваного значення (чи певного фіксованого порогового значення) у сторону пере­вищення (сприятливі відхилення) як джерела ризику нічим не виправдане, оскільки протягом відповідних періодів акції мо­жуть забезпечити прибуток, обсяг якого є не меншим заплано­ваного рівня. На нашу думку, лише відхилення норми прибут­ку у сторону зменшення (несприятливі відхилення) відносно сподіваної норми прибутку можна розглядати як джерело ри­зику акції.

Оцінкою величини ризику k-ї акції, що базується на зазначе­ній основі, є семіваріаційна характеристика:

(7.82)

де величина є умовною дисперсійною харак­теристикою випадкової величини відносно наперед заданого

порогового значення с^* (с> 0), отже, враховуються лише несприят­ливі для суб'єкта ризику (інвестора) відхилення, тобто <c. Ця умовна дисперсійна характеристика обчислюється за формулою:

(7.83)

де

Тут F_k {x) — функція розподілу, — умовна функція розподілу випадкової величини .

Надалі для зручності введемо позначення щодо подій:

Очевидно, що події утворюють повну групу, а тому повну дисперсійну характеристику випадкової величини відносно порогового значення с можна знайти за формулою:

(7.84)

Якщо для фіксації несприятливих відхилень щодо випадкової величини скористатись випадковою величиною (індикато­ром несприятливих відхилень):

а для фіксації сприятливих явищ — випадковою величиною (ін­дикатором сприятливих відхилень)

^*Порогове значення (с), яке кожен інвестор підбирає індивідуально. Пропонується за с використовувати середню норму прибутку індексних фондів. Дане порогове значення можна також розглядати як суму безризикової ставки ринку, якою виступає облікова ставка Національного банку, та премії за ризик відповідно до обраної інвестором страте­гії (агресивної чи пасивної

То

Розглянемо тепер випадкову величину, що відображає норму прибутку портфеля акцій:

(7.85)

де х_k — частка акцій к-го виду у портфелі — вектор, що задає структуру портфеля,

Якщо ввести до розгляду індикатор несприятливих відхилень

та індикатор сприятливих відхилень

то випадкова величина, що описує несприятливі відхилення нор­ми прибутку портфеля відносно порогового значення с, визнача­ється співвідношенням

(7.86)

а сприятливі відхилення — співвідношенням

(7.87)

Зафіксуємо структуру портфеля акцій. Тоді з ура­хуванням структури випадкової величини отримуємо:

(7.88)

Розглянемо множину для всіх елементів якої має місце оцінка:

(7.89)

Але невід'ємні значення, що їх набуває випадкова величина не заперечують можливості одночасного співісну­вання під знаком суми у правій частині (7.89) як додатних, так і від'ємних доданків для усіх , що належать деякій підмножині . При цьому наявність від'ємних доданків гарантує існування непустої підмножини такої, що для усіх матиме місце оцінка:

(7.90)

Співвідношення (7.90) вказує на те, що наявність несприятли­вих відхилень щодо акцій (хоча б на обмеженій множині ) слід розглядати як потенціальне джерело ризику портфеля акцій. Тому при оцінці ризику портфеля акцій необхідно враховувати всі можливі несприятливі відхилення стосовно кожного виду ак­цій, що є його складовими, незалежно від його структури, навіть у разі сприятливих відхилень норми прибутку цього портфеля.

Як уже зазначалось, випадкова величина

(7.91)

описує сприятливі відхилення стосовно норми прибутку портфе­ля. До складу сприятливих входять і безризикові ситуації, харак­терною ознакою яких є те, що незалежно від струк­тури портфеля. Це можливо лише у разі, коли одночасно для усіх k = l,...,N мають місце оцінки і тоді

(7.92)

Якщо розглянути подію

то безризикова ситуація матиме місце у тому випадку, коли вектор

Усі інші допустимі комбінації щодо норм прибутків акцій обтяжені ризиком (відхилення норми прибутку хоча б однієї акції є несприятливим). Позначивши через подію, що їх охоплює, і враховуючи, що та утворюють повну групу подій, отри­муємо:

(7.93)

Наведені міркування вказують на те, що за міру ризику порт­феля цінних паперів доцільно використовувати величину

(7.94) Враховуючи, що

(7.95)

отримуємо формулу для обчислення міри ризику портфеля згідно зі зазначеною концепцією:

(7.96) .

У формулі (7.96): — семіковаріаційна ха­рактеристика випадкових величин , що обчислю­ється за формулою:

(7.97)

— коваріаційна характеристика випадкових величин , що обчислюється за формулою:

(7'98)

де — середньозважені (сподівані) норми прибутку відпо­відно k-го та j-го видів цінних паперів, тобто

Якщо за цільову використати функцію (7.96), то структура портфеля, що має мінімальний ризик згідно із зазначеною концеп­цією, є розв'язком оптимізаційної задачі:

(7.99)

Якщо для оцінки ризику щодо несприятливих відхилень вико­ристовувати семіваріацію (коли за пороговий рівень при визна­ченні несприятливих відхилень використовувати не наперед за­дану константу с, а середньозважені (сподівані) значення відповідних норм прибутків акцій чи портфеля), критерій (7.96) набуває вигляду:

(7.100)

У формулі (7.100): — семіковаріація ви­падкових величин , що обчислюється за фор­мулою: (7.101)

множина сприятливих відхилень норми прибутку портфеля цін­них паперів

m_п — середньозважена (сподівана) норма прибутку портфеля об­числюється за формулою:

(7.102)

Якщо за цільовий використати критерій (7.100), то оптималь­на структура портфеля цінних паперів буде рішенням оптиміза­ційної задачі:

(7.103)

За наявності статистичних даних для наближеного обчислення величин, наведених у формулах (7.96) та (7.100), використовують їх оцінки. Так, структура портфеля з мінімальним ризиком є розв'язком оптимізаційної задачі (7.99), але при цьому у формулі (7.98) використовуються оцінки сподіваних значень відповідних норм прибутку, дисперсії та відповідних коваріацій.

Зазначимо, що при цьому оцінка здійс­нюється за формулою:

(7.105)

Використання зазначеної концепції в практичній діяльності дає позитивні результати. Зменшення ризикованості портфеля цінних паперів завдяки відкиданню безризикових ситуацій до­зволить побудувати портфель з більшою нормою дохідності, ніж отриманий з використанням методу Г. Марковіца.

РИЗИКОЛОГІЯ В ПРИКЛАДНИХ

ПРОБЛЕМАХ ЕКОНОМІКИ

ТА ПІДПРИЄМНИЦТВА