7.3. Теоретико-ігрова концепція вибору портфеля

Як уже зазначалось, у класичній теорії портфеля приймається гіпотеза щодо стаціонарності (тобто незмінності з плином часу) таких характеристик активів, як сподівана норма прибутку, дис­персія тощо. Але, як показують дослідження, це допущення часто порушується, тобто характеристики активів є функціями часу і при цьому залежність одних від часу є суттєвою, інших — про­являється дещо меншою мірою. Крім того, прийняття гіпотези щодо стаціонарності норм прибутків активів не дозволяє скорис­татись усією наявною інформацією, особливо у разі великої кіль­кості нестаціонарних станів ринку. У багатьох випадках отримані на основі достовірної інформації оцінки числових показників, обраних для інвестування активів (сподівані норми прибутку, ди­сперсії, коваріації норм прибутку тощо), неадекватно характери­зують відповідні випадкові величини та їх сукупність.

У подальших викладках пропонуються певні модифікації мо­делі Марковіца для різних інформаційних ситуацій [123]. Для кожної з них визначається сутність такого поняття, як ефективні портфелі, розглядаються різні підходи до постановки задачі ви­бору портфеля з наперед заданими характеристиками та обґрун­товується можливість використання теоретико-ігрової концепції для розв'язання цієї задачі. Суттєвою перевагою теоретико-ігрових методів пошуку ефективного портфеля є їх конструктив­ність з погляду реалізації. Зазначимо, що базою для реалізації те-оретико-ігрових моделей є методи математичного програмуван­ня. Відповідні пакети прикладних програм входять у математич­не забезпечення сучасної комп'ютерної техніки.

Одним з основних і найпридатніших для застосування підхо­дів до оцінювання параметрів імовірнісної моделі ринку і число­вих характеристик активів є використання ретроспективних да­них. Але при цьому потрібно пам'ятати, що отримані оцінки не є абсолютно надійними, що вони не є точним прогнозом майбутніх

значень відповідних показників. Аналогічно не можна вважати, що оцінки, отримані на основі інших підходів (методів), є адеква­тним відображенням дійсності, тобто, що є істинними значення ймовірностей сценаріїв, можливі значення норм прибутків акти­вів для відповідних станів ринку, всіх числових характеристик активів і портфелів, що обчислюються на їх основі.

Запропоновані модифікації моделі Марковіца дозволяють ураховувати фінансові умови, що можуть задаватись в конкрет­них задачах, і тим самим обмежувати вибір типу портфеля.

7.3.1. Теоретико-ігрова модель вибору

структури портфеля при заданому

розподілі ймовірності

Вважатимемо, що N— кількість різних видів активів, обтяжених ризиком, п — кількість станів (сценаріїв) економічного середовища (ринку), q_j — ймовірність настання j-го стану (j= 1,...,n), г_ij — норма прибутку активу i-го виду при наявності j-го стану економічного се­редовища (i = l,..,N; j = l„..,n), R = (r_ij:i = l,..,N; j = 1,...,n) — мат­риця, елементами якої є можливі значення норм прибутку акти­вів. Якщо через Rt позначити i-й рядок матриці R, то згідно з введеними раніше позначеннями R_i — це дискретна випадкова величина, що описує норму прибутку i-го активу. У свою чер­гу, стовпчики матриці R характеризують стани економічного середовища (ринку), а саме: j-й стовпчик утворюється зі зна­чень норм прибутку всіх активів, що відповідають стану в . Тому ймовірність настання j-ro можливого значення дискретної випадкової величини R_i, збігається з імові­рністю стану Qj, тобто

Згідно з класифікацією перша інформаційна ситуація I₁ харак­теризується відомим розподілом щодо станів економічного сере­довища. Тому в полі І₁ стає можливим обчислення для i-го активу сподіваної норми прибутку m_i, дисперсії а також коваріації для кожної пари випадкових величин за формулами:

(7.43)

(7.45)

(7.46)

Визначивши ці числові характеристики активів, за формулами (7.3) та (7.4) можна визначити відповідно сподівану норму при­бутку та дисперсію (ступінь ризику) портфеля, що має структуру x =(x₁;...;x_N). Компонента х_i, вектора X є часткою початкового капіталу, що інвестується в актив i-го виду (i = l,...,N). Ці компо­ненти мають задовольняти основному обмеженню (7.2) та вимозі щодо невід'ємності (7.16).

Формально економіко-математичну модель класичної моделі Марковіца можна подати у вигляді такої двокритеріальної задачі вибору оптимального рішення:

(7.46)

(7.47)

за обмежень

(7.48)

(7.49)

Згідно з [123] портфель зі структурою X* =(x^*₁...,x_N^*) назива­ється ефективним в моделі Марковіца, якщо X* є вектором Паре­то задачі (7.46)—(7.49) і при цьому множина структур усіх ефек­тивних портфелів збігається з множиною Парето задачі (7.46)— (7.49). Інакше кажучи, згідно з моделлю Марковіца мета інвесто­ра полягає у визначенні таких значень часток xt, які б задавали для задачі (7.46)—(7.49) вектор X =(x₁;...;x_N), оптимальний за Парето. Цей вектор прийнято називати структурою ефективного портфеля.

Серед усіх ефективних портфелів виокремимо портфель зі структурою X* =(x^*₁...,x_N^*), який є розв'язком задачі мінімізації ризику портфеля на множині всіх допустимих портфелів (так звану задачу збереження капіталу [57]). Формально ця однокри-теріальна задача задається співвідношеннями:

(7.50)

(7.51)

(7.52)

Визначивши структуру портфеля з мінімальним ступенем ри­зику, обчислюють його дисперсію та його сподівану норму m_п^* прибутку за формулами:

Проаналізуємо випадки, коли розв'язок задачі теорії гри і структура X^* портфеля збігаються. Як зазначалось раніше, норма прибутку портфеля зі структурою x =(x₁;...;x_N) є випадковою величиною . Тоді випадкова величина є нормою прибутку портфеля з мінімальним ступенем ризику. Очеви­дного .

Розглянемо задачу створення портфеля активів як парну гру з нульовою сумою, що визначається матрицею , і нехай ця гра не має сідлової точки. Позначимо оптимальну змішану стратегію першого гравця через ІІ_p. (їй відповідає розподіл p^* = (р₁*;...;p*_N)), оптимальну змішану стратегію другого гравця через . (їй відповідає розподіл Q* = (q₁^*;...;q^*_N)), через V* — ціну гри. Виявляється [123], що у ви­падку, коли всі компоненти вектора Q*=q^*₁...q_n^*) строго більші нуля (q^*_j >0, j = 1,...,n), вектор Р*, що визначає оптимальну змі­шану стратегію першого гравця, збігається з вектором X^*, тобто виконується рівність Р^* = Х^*(або ж р^*_i=х^*_i, i = l,...,N) і при цьо­му

Зауважимо, що у розрізі зазначених умов з урахуванням того, що , існує можливість створення портфеля П_p. (який і є оптимальною змішаною стратегією першого гравця) з нульовим ступенем ризику, тобто існує можливість уникнення ризику портфеля.

Розглянемо тепер задачу створення портфеля активів як парну гру з нульовою сумою, що задається матрицею , де і нехай ця гра не має сідлової точки, а розподіли, що визначають оптимальні змішані стратегії П_p* . та . відповідно першого та другого гравців, за­ даються векторами — ціна гри. Виявляється [123], що за умови, коли всі компоненти векторів Р та Q* строго більші нуля , век­ тори Р*, Q* та X* збігаються, тобто Р*= Q* = Х* (або ж і при цьому портфель зі структурою X* має мінімальний ступінь ризику, рівний за величиною ціні гри: