Критерій Байєса та його модифікації

Сутність критерію Байєса полягає у порівнянні між собою ма­тематичних сподівань ВВ, що задаються векторами оцінювання Fk, які ідентифікують відповідні рішення (чисті стратегії).

Згідно з критерієм Байєса оптимальне рішення s_k (чи множи­на оптимальних рішень) у випадку, коли F = F*, визначається умовою:

називається байєсівською оцінкою рішення (чистої стратеги) s_k СПР.

Порядковий номер оптимального рішення (чистої стратегії) СПР визначається за допомогою функції:

Якщо функціонал оцінювання має негативний інгредієнт ( ), тобто відображає ризики, збитки, непередбачені виплати тощо, то величину

називають байєсівським ризиком рішення (чистої стратегії) СПР. Оптимальне рішення визначається умовою:

При використанні критеріїв (5.13) чи (5.14) необхідно зверну­ти увагу на таке застереження: рішення (чисту стратегію) можна вважати оптимальним лише в тому випадку, коли у СПР є підста­ви для того, щоб усі елементи функціонала оцінювання F віднес­ти до зони допустимого ризику. Якщо це не так, то використання критерію Байєса некоректне, оскільки він не враховує варіацію-У цьому випадку для прийняття рішень ризик доцільно розглянути як векторну величину, компонентами якої є такі показники, як величина допустимого, критичного та катастрофічного ризику тощо.

Дослідження показують, що навіть у випадку сприятливої (щодо СПР) ситуації рішення, прийняте лише на основі критерію Байєса, неадекватне, тобто воно не враховує всі аспекти реальної ситуації. Тому оцінки, отримані згідно з цим критерієм, часто ви­користовуються як складові більш складних критеріїв, що врахо­вують розкид значень функціонала оцінювання на множині сце­наріїв (це розглядатиметься далі). До останніх належить критерій, наведений у [80]:

Якщо від функціонала оцінювання F = F* перейти до матриці невикористаних можливостей (матриці ризиків) , то вибір оптимального рішення (стратегії) можна здійснювати аналогічно. При цьому слід скористатись критерієм (5.14), де

Але, як це показано у [123], оптимальна чиста стратегія s_k , вибір якої грунтується на критерії Байєса з використанням мат­риці невикористаних можливостей , одночасно є оптимальною згідно з цим критерієм, якщо використовувати функціонал оці­нювання F. Цей факт ще раз підтверджує раніше зроблений ви­сновок щодо неврахування ризику при використанні критерію Байєса.

Критерії мінливості (варіації) значень елементів функціонала оцінювання

. Кожній чистій стратегії s_k СПР можна поставити у відповід­ність величину ризику у вигляді міри мінливості елементів fkj ве­ктора оцінювання Ft відносно центра групування елементів цього Актора

Позначимо центр групування значень ВВ F_k через A_k = A(F_k, Q), Тоді, як уже зазначалось у розд. З, як центр групування можна використовувати:

При цьому порядковий номер оптимальної стратегії визнача­ється функцією:

а величина D_A(s_k; Q),k= 1, ..., m, обчислюється за формулою:

або ж за використання центра групування всіх елементів функці­онала оцінювання F — за формулою:

Розглянемо окремо випадок, коли як центр групування елементів для k-ї чистої стратегії обирається математичне сподівання, тобто А_к = g_k = M(F_k). Міру мінливості оцінюють за допомогою дисперсії:

Згідно з критерієм мінімальної дисперсії (мінімальної мінли­вості) оптимальна чиста стратегія s_k СПР знаходиться згідно з умовою:

порядковий номер оптимальної чистої стратегії:

Слід зазначити, що одним з недоліків цього критерію є те, що він не враховує структуру матриці платежів F.

Якщо вважається, що ризик пов'язаний лише з несприятливи­ми для СПР ефектами стосовно центра групування А_к, то оптима­льна чиста стратегія вибирається згідно з умовою:

де — вектор індикаторів несприятливих відхилень значень ВВ Fk відносно Ak(k=1,…,m) (чи Af), тобто

У випадку, коли F = F+, для вибору оптимальної чистої стра­тегії можна скористатись критеріями, що базуються на оцінках ризику у відносному вираженні (за допомогою модифікованих коефіцієнтів варіації):

де A0 — фіксоване значення економічного показника, на основі якого будується функціонал оцінювання F, Порядковий номер оптимальної чистої стратегії:

то використовується критерій мінімального модального коефіці­єнта семіваріації. Останній доцільно використовувати також тоді, коли кожній чистій стратегії відповідає свій розподіл імовірності станів економічного середовища. Тобто функціоналу оцінювання F відповідає матриця розподілу ймовірності:

де qkj — ймовірність настання j-го стану економічного середови­ща у разі вибору СПР своєї k-ї чистої стратегії.

Вибір оптимальної чистої стратегії у разі, коли F = F* можна здійснити і на основі низки критеріїв, що носять об'єктивно-суб'єктивний характер, зокрема:

Тут операція «opt» відповідає знаходженню максимального значення, якщо критерій має позитивний інгредієнт, і мінімального— якщо інгредієнт негативний. Критерій ефективності чис­тої стратегії Sk задається формулою:

де параметр — коефіцієнт несхильності до ризику, що відображає в числовій формі ставлення до ризику і задається СПР, [0; 1]. Зазначимо, що запропоновану групу критеріїв можна віднести до модифікованих критеріїв.

5.3. БАГАТОЦІЛЬОВІ

БАГАТОКРИТЕРІАЛЬНІ ІГРОВІ МОДЕЛІ

Проблема прийняття рішень (вибору стратегій) в економіці виникає через дві принципові обставини: з одного боку, багатоваріантність економічних рішень, з іншого — цілеспрямованість (людські прагнення) економічних систем і зумовлений цим ри­зик. Множина альтернативних варіантів рішень (стратегій) ви­значається наявними можливостями економічного розвитку; ви­бір з цієї множини (а він завжди існує) диктується цілями певної економічної системи. Рішення (стратегія), що приймається, являє собою результат сумісного розгляду цілей та можливостей і їх узгодження.

Для використання математичних методів в аналізі, оцінюван­ні, управлінні й прийнятті економічних рішень обидві складові задачі вибору повинні мати адекватне відображення в економіко-математичнІй моделі. Переважною є концепція, згідно з якою ціль — це напрям розвитку економічної системи (так звана ціль-напрям). Досить поширеною є інша інтерпретація, коли ціль — це деякий наперед визначений стан, якого необхідно досягти пе­вній економічній системі (так звана ціль-стан). Зазначимо, що шль-напрям (надалі просто ціль) дозволяє порівнювати альтерна­тивні стратегії і, як наслідок, вибирати найкращу, що найбіль­шою мірою забезпечує максимальне наближення до бажаного стану (цілі-стану).

Найбільш загальні моделі, що переважно використовуються в економічному аналізі, носять якісний характер і або фіксують ре­зультати порівняння альтернативних рішень (стратегій) з погляду цілей економічної системи, або аналітично описують результати вибору з множини альтернативних рішень. У першому випадку ціль описується у вигляді бінарних відношень на множині альтер­нативних рішень і станів економічного середовища, у другому — функцією виграшу (цільовою функцією).

Поряд з якісним описом цілей як у теоретичних досліджен-нях, так і в практиці економіко-математичного моделювання досить поширені кількісні моделі. Найпростішою та найпоши­ренішою моделлю такого типу є цільова функція (функціонал оцінювання), яка ставить у відповідність кожному альтернати­вному рішенню і стану економічного середовища дійсне число. Побудова цільової функції (функціонала оцінювання) економі­чної системи — це досить складна задача. Проблеми, що вини­кають при цьому, зумовлені складним, багатовимірним харак­тером цілей соціально-економічного розвитку, кінцевих ре­зультатів і наслідків економічної діяльності, які торкаються рі­зних складових соціально-економічного буття. За цих умов узагальнена ціль економічної системи, якщо вона допускає ве­рбальне формулювання, з великими труднощами втілюється у вигляді скалярної цільової функції. Причинами, що унеможли­влюють таке представлення, є внутрішні протиріччя інтересів і переваг (як образна ілюстрація— неспокійне людське серце). Тому замість узагальненої цілі доводиться розглядати систему цілей (векторну цільову функцію), виокремлюючи як її складові більш прості часткові цілі, моделювання яких через побудову цільових функцій (функціоналів оцінювання) вже не є таким проблематичним.

У свою чергу, різнобічні інтереси (цілі) СПР призводять до конфліктів між ними і зумовленого цим ризику. Наприклад, фор­муючи економічну політику, як правило, беруть до уваги різно­манітні цілі, узгоджуючи суперечливі вимоги, зумовлені обста­винами (проблеми глобалістики, зростання обсягів виробництва, підвищення доходів, ріст і надійність економічного розвитку, зниження ступеня ризику, економічного навантаження тощо).

Описаний підхід є засобом подолання об'єктивно існуючого протиріччя між складністю цілей економічних систем та обмеже­ними можливостями їх економіко-математичного моделювання. Разом з тим помилковим є намагання зв'язати виникнення бага­тоцільових задач зі специфікою математичного методу дослі­дження економічних проблем. Множинність цілей економічних систем має об'єктивний характер і знаходить своє модельне ві­дображення у вигляді задачі прийняття багатоцільових багатокритеріальних рішень.